4.Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. Дано:∆АВС ВМ - медиана,ВМ - высота. Доказать: ∆АВС – равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, если медиана BM совпадает с высотой, необходимо рассмотреть свойства медиан и высот. 1. **Определения**: - Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В нашем случае, BM — медиана, что означает, что M — середина стороны AC. - Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону. Поскольку BM также является высотой, это значит, что BM перпендикулярно AC. 2. **Построение**: - Так как M — середина отрезка AC, то AM = MC. - Поскольку BM перпендикулярна AC, то треугольники ABM и BCM имеют общую высоту BM и основание AC, которое делится пополам в точке M. 3. **Сравнение треугольников**: - В треугольниках ABM и BCM: - Боковые стороны AB и BC являются сторонами треугольника. - Основание делится пополам: AM = MC. 4. **Применение теоремы о равенстве треугольников**: - По критерию равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) мы можем сказать, что: - AB = BC, так как BM является высотой и медианой, что равнозначно параллельности углов ABM и BCM (углы между высотой и основанием равны и поэтому треугольники равнобедренные). 5. **Заключение**: - Поскольку AB = BC, мы можем заключить, что треугольник ABC является равнобедренным. Таким образом, если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник ABC действительно является равнобедренным.