Угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен 60°, АС=20см, ВД=14см. Найдите периметр пaраллелограмма
Для нахождения периметра параллелограмма ABCD, нужно сначала найти его стороны. Действия будут следующими:
Углы между диагоналями параллелограмма делят его на два треугольника. Мы знаем, что угол между диагоналями \(AC\) и \(BD\) равен \(60^\circ\), а длины диагоналей известны: \(AC = 20 \, \text{см}\) и \(BD = 14 \, \text{см}\).
В параллелограмме диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую из диагоналей пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\). Тогда \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{см}\) и \(BO = \frac{BD}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, \text{см}\).
Рассмотрим треугольник \(AOB\), где \(AO = 10 \, \text{см}\), \(BO = 7 \, \text{см}\) и угол \(AOB = 60^\circ\). Мы можем найти сторону \(AB\) с использованием теоремы косинусов:
\[ AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(AOB) \]
Подставим значения:
\[ AB^2 = 10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ AB^2 = 100 + 49 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AB^2 = 100 + 49 - 70 \] \[ AB^2 = 79 \]
Тогда длина стороны \(AB\):
\[ AB = \sqrt{79} \approx 8.89 \, \text{см} \]
Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, сторона \(CD\) также равна \(AB\).
Теперь нам нужно найти длину стороны \(AD\) (которая равна стороне \(BC\)). В треугольнике \(AOD\) также применяем теорему косинусов:
\[ AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(60^\circ) \]
Здесь \(DO = BO = 7\) см. Таким образом:
\[ AD^2 = 10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AD^2 = 100 + 49 - 70 \] \[ AD^2 = 79 \]
Следовательно, длина стороны \(AD\):
\[ AD = \sqrt{79} \approx 8.89 \, \text{см} \]
- Периметр параллелограмма можно найти по формуле:
\[ P = 2 \cdot (AB + AD) \] \[ P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (\sqrt{79} + \sqrt{79}) = 4 \cdot \sqrt{79} \approx 4 \cdot 8.89 \approx 35.56\, \text{см} \]
Таким образом, периметр параллелограмма равен приблизительно \(35.56 \, \text{см}\).
