реши уравнение

Привет! Давай решим уравнение \(2 \cos^2 x = 3 \sin x\).

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\).

2. Подставим в уравнение:

\[2(1 - \sin^2 x) = 3 \sin x.\]

3. Упростим:

\[2 - 2 \sin^2 x = 3 \sin x.\]

4. Приведем к квадратному уравнению:

\[2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0.\]

5. Обозначим \(\sin x = t\). Получим:

\[2t^2 + 3t - 2 = 0.\]

6. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25.\]

7. Найдем \(t\):

\[t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2},\]

\[t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{-3 - 5}{4} = -2.\]

8. Теперь найдем \(x\):

   • Если \(\sin x = \frac{1}{2}\), то \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\).

   • Если \(\sin x = -2\), не может быть решения, так как \(\sin x\) лежит в пределах от -1 до 1.

Вот и все! Решения: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.