Чтобы решить уравнение (3y^4 - 7y^2 + 4 = 0) методом замены переменной, начнем с подстановки. Поскольку у нас есть степень (y^4) и (y^2), удобно ввести новую переменную:
Пусть (x = y^2). Тогда (y^4 = (y^2)^2 = x^2).
Теперь наше уравнение можно переписать следующим образом:
[3x^2 - 7x + 4 = 0]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},]
где (a = 3), (b = -7), (c = 4).
Находим дискриминант:
[
D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1.
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}.
]
Таким образом, у нас есть два значения для (x):
- (x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}),
- (x_2 = \frac{6}{6} = 1).
Теперь, помним, что (x = y^2). Таким образом, мы можем найти (y):
Для (x_1 = \frac{4}{3}):
[
y^2 = \frac{4}{3} \implies y = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.
]
Для (x_2 = 1):
[
y^2 = 1 \implies y = \pm 1.
]
В итоге, корни уравнения (3y^4 - 7y^2 + 4 = 0) следующие:
[
y = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{и} \quad y = \pm 1.
]
Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужна помощь с другими заданиями, не стесняйтесь спрашивать!
