Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж. 8.2.41. у=4х-х²; у = 0.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = 4x - x^2 \) и прямой \( y = 0 \), начнем с графического представления.
Найдем точки пересечения: Чтобы найти точки пересечения кривой и оси абсцисс (где \( y = 0 \)), решим уравнение: \[ 4x - x^2 = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(4 - x) = 0 \] Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 4 \). Эти точки \( (0, 0) \) и \( (4, 0) \) являются границами интегрирования.
Чертеж: Построим график функции \( y = 4x - x^2 \). Это парабола, открывающаяся вниз, с вершиной в точке \( (2, 4) \), так как максимум достигается при \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{-2} = 2 \). Точки пересечения с осью \( x \) уже найдены.
Вычисляем площадь: Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью, рассчитывается с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \,dx \]
Посчитаем интеграл: \[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \,dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \] Подставим пределы: \[ S = \left( 2(4^2) - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2(0^2) - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) \] \[ = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна: \[ S = \frac{32}{3} \]
Если у вас есть вопросы по решению или вам нужен дополнительный материал, пожалуйста, дайте знать!
