Значение арифметического выражения: 16 (20-я степень) + 2 (30-я степень) – 32 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» в этой записи?
Чтобы решить выражение \( 16^{20} + 2^{30} - 32 \) и представить результат в системе счисления с основанием 4, начнем с вычисления частей выражения.
- Вычислим каждую степень:
- \( 16^{20} \) можно переписать как \( (2^4)^{20} = 2^{80} \).
- \( 2^{30} \) остается \( 2^{30} \).
- \( 32 \) можно выразить как \( 2^5 \).
Теперь подставим в выражение: \[ 2^{80} + 2^{30} - 2^5. \]
Приведем к общему основанию: Важно учесть, что мы можем записать все члены при помощи одной степени 2. Наибольшая степень здесь — это \( 2^{80} \): \[ 2^{80} + 2^{30} - 2^5 = 2^{80} + 2^{30} - 2^{5}. \]
Соберем выражение: Чтобы легче работать с этими числами, можно внести их в виде разности: \[ 2^{80} + 2^{30} - 2^{5} = 2^{80} + 2^{30} - 32. \]
Здесь, у нас \( 2^{80} \) — это очень большое число, а \( 2^{30} - 2^{5} \) будет значительно меньше. Для упрощения рассмотрим: \[ n = 2^{80} + (2^{30} - 2^{5}). \]
Теперь найдем, что составляет \( 2^{30} - 2^{5} \): \[ 2^{30} - 32 = 2^{30} - 2^{5} = 2^{30} - 2^{5} = 2^5(2^{25} - 1). \]
Это число все еще будет значительно меньше, чем \( 2^{80} \), поэтому главное тут — это \( 2^{80} + 2^{30} - 32 \).
- Запишем результат в системе счисления с основанием 4: Чтобы перевести в систему с основанием 4, заметьте, что \( 2^{80} \) в системе счисления с основанием 4 будет записано как: \[ 4^{40} = 1 \text{ и 40 нулей}. \] \( 2^{30} \) будет записано как \( 4^{15} = 1 \text{ и 15 нулей}. \)
Теперь соберем всё в 4-ке: Всё число будет записано по-разному, но основное число \( 2^{80} \) за счёт его величины будет всё равно иметь только 1 на первой позиции, а все остальные нули. С добавлением \( 2^{30} \) структура записи сложно изменится, и остаток \( -32 \) больше не занимает первую позицию.
- Подсчитаем количество цифр «3» в записи: Теперь, чтобы сосчитать количество единиц и тройки, в итоге записи при переводе в систему счисления с основанием 4, мы можем увидеть, что из-за огромного числа \( 2^{80} + (меньшее число) \) будет всего 1 на первой позицию, и тройками мы не получим (исходя из представленных уже степеней).
Таким образом, получаем, что число тройок в этой записи: Количество цифр «3» равно 0.
