Определите первую космическую скорость для спутника Меркурия, летающего на небольшой высоте, если масса планеты 3,26 · 10^23 кг, а радиус 2,42 · 10^6 м.

Для нахождения первой космической скорости (V₁) для спутника, летающего на небольшой высоте над поверхностью планеты, можно использовать следующую формулу:

\[ V₁ = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}} \]

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная, которая равна приблизительно \( 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н·м²/кг²} \),
• \( M \) — масса планеты (в вашем случае \( 3.26 \cdot 10^{23} \, \text{кг} \)),
• \( R \) — радиус планеты (в вашем случае \( 2.42 \cdot 10^{6} \, \text{м} \)).

Подставим известные значения в формулу:

\[ V₁ = \sqrt{\frac{(6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot (3.26 \cdot 10^{23})}{2.42 \cdot 10^{6}}} \]

Сначала рассчитываем числитель:

\[ 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 3.26 \cdot 10^{23} = 2.17382 \cdot 10^{13} \, \text{Н·м²/кг} \]

Теперь разделим это значение на радиус:

\[ \frac{2.17382 \cdot 10^{13}}{2.42 \cdot 10^{6}} \approx 8.999 \cdot 10^{6} \, \text{м²/с²} \]

Теперь извлечем квадратный корень:

\[ V₁ \approx \sqrt{8.999 \cdot 10^{6}} \approx 2999.83 \, \text{м/с} \]

Таким образом, первая космическая скорость для спутника Меркурия, летающего на небольшой высоте, составляет примерно 3000 м/с.