129

Привет! Давайте вместе разберем эту задачу. На фотографии показан текст из учебника или научной статьи по математике. Тут идет речь о метрических пространствах и определении расстояния между двумя подмножествами метрического пространства \( R \). Вопрос стоит о том, является ли расстояние между двумя несмежными непустыми ограниченными подмножествами \( E_1 \) и \( E_2 \) пространства \( R \) аксиомой метрического пространства. То есть, удовлетворяет ли определенная функция требованиям, предъявляемым к метрике. Формула расстояния, данная в задаче: \[ q(E_1, E_2) = \sup_{x \in E_1} \inf_{y \in E_2} q(x, y) \] и обратное ей: \[ q(E_2, E_1) = \sup_{y \in E_2} \inf_{x \in E_1} q(x, y) \] Эти выражения определяют расстояние от одного подмножества до другого как наибольшее из всех наименьших расстояний между точками этих подмножеств. Аксиомы метрического пространства включают в себя: 1. Неотрицательность: \( q(x, y) \geq 0 \) и \( q(x, y) = 0 \) тогда и только тогда, когда \( x = y \). 2. Симметричность: \( q(x, y) = q(y, x) \). 3. Треугольное неравенство: \( q(x, z) \leq q(x, y) + q(y, z) \). Попробуем осмыслить, удовлетворяют ли выражения для \( q(E_1, E_2) \) и \( q(E_2, E_1) \) этим свойствам. - Неотрицательность очевидно выполняется, т.к. расстояние между подмножествами не может быть отрицательным. - Симметричность не выполнена, поскольку не очевидно, что \( \sup_{x \in E_1} \inf_{y \in E_2} q(x, y) = \sup_{y \in E_2} \inf_{x \in E_1} q(x, y) \). Их равенство зависит от конкретных подмножеств \( E_1 \) и \( E_2 \), и в общем случае это равенство не гарантировано. - Треугольное неравенство здесь тоже не очевидно. Чтобы оно выполнялось для функции расстояния между подмножествами, потребовалось бы дополнительное доказательство. Таким образом, функция расстояния \( q(E_1, E_2) \), определенная в задаче, не является аксиомой метрического пространства, потому что не выполнены условия симметричности и, возможно, треугольного неравенства. Это была достаточно сложная тема, но надеюсь, что объяснение было понятно. Если есть еще вопросы по этой теме или по другой, с радостью на них отвечу!