Чтобы решить задачу, давайте используем теорему Байеса. Нам известны следующие данные:
- Средний процент нестандартных изделий в первой партии: ( p_1 = 20% = 0.2 ) (средний процент стандартных изделий в первой партии составляет 80%).
- Средний процент нестандартных изделий во второй партии: ( p_2 = 10% = 0.1 ) (средний процент стандартных изделий во второй партии составляет 90%).
Предположим, что количество изделий в обеих партиях одинаковое. Обозначим:
- ( A_1 ) — событие, что изделие из первой партии.
- ( A_2 ) — событие, что изделие из второй партии.
- ( B ) — событие, что изделие стандартное.
Нас интересует вероятность ( P(A_1 | B) ), то есть вероятность того, что изделие из первой партии при условии, что оно стандартное.
По теореме Байеса:
[
P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}
]
Мы можем предположить, что партии равны по количеству, тогда:
[
P(A_1) = P(A_2) = 0.5
]
Теперь найдем ( P(B | A_1) ) и ( P(B | A_2) ):
Вероятность, что изделие стандартное из первой партии:
[
P(B | A_1) = 1 - P( нестандартное , | A_1) = 1 - 0.2 = 0.8
]
Вероятность, что изделие стандартное из второй партии:
[
P(B | A_2) = 1 - P( нестандартное , | A_2) = 1 - 0.1 = 0.9
]
Теперь нам нужно найти ( P(B) ):
[
P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2)
]
Подставим значения:
[
P(B) = (0.8 \cdot 0.5) + (0.9 \cdot 0.5) = 0.4 + 0.45 = 0.85
]
Теперь подставим все значения в формулу Байеса:
[
P(A_1 | B) = \frac{0.8 \cdot 0.5}{0.85} = \frac{0.4}{0.85} \approx 0.4706
]
Округляя до сотых, получаем:
[
P(A_1 | B) \approx 0.47
]
Таким образом, вероятность того, что изделие из первой партии, равно примерно 0.47 или 47%.
