Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найдите вероятность того, что оно…

Чтобы решить задачу, давайте используем теорему Байеса. Нам известны следующие данные:

• Средний процент нестандартных изделий в первой партии: \( p_1 = 20\% = 0.2 \) (средний процент стандартных изделий в первой партии составляет 80%).
• Средний процент нестандартных изделий во второй партии: \( p_2 = 10\% = 0.1 \) (средний процент стандартных изделий во второй партии составляет 90%).

Предположим, что количество изделий в обеих партиях одинаковое. Обозначим:

• \( A_1 \) — событие, что изделие из первой партии.
• \( A_2 \) — событие, что изделие из второй партии.
• \( B \) — событие, что изделие стандартное.

Нас интересует вероятность \( P(A_1 | B) \), то есть вероятность того, что изделие из первой партии при условии, что оно стандартное.

По теореме Байеса:

\[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]

Мы можем предположить, что партии равны по количеству, тогда:

\[ P(A_1) = P(A_2) = 0.5 \]

Теперь найдем \( P(B | A_1) \) и \( P(B | A_2) \):

• Вероятность, что изделие стандартное из первой партии: \[ P(B | A_1) = 1 - P( нестандартное \, | A_1) = 1 - 0.2 = 0.8 \]

• Вероятность, что изделие стандартное из второй партии: \[ P(B | A_2) = 1 - P( нестандартное \, | A_2) = 1 - 0.1 = 0.9 \]

Теперь нам нужно найти \( P(B) \):

\[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \]

Подставим значения:

\[ P(B) = (0.8 \cdot 0.5) + (0.9 \cdot 0.5) = 0.4 + 0.45 = 0.85 \]

Теперь подставим все значения в формулу Байеса:

\[ P(A_1 | B) = \frac{0.8 \cdot 0.5}{0.85} = \frac{0.4}{0.85} \approx 0.4706 \]

Округляя до сотых, получаем:

\[ P(A_1 | B) \approx 0.47 \]

Таким образом, вероятность того, что изделие из первой партии, равно примерно 0.47 или 47%.