Проведено 650 испытаний Бернулли. 0,5 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом…
Проведено 650 испытаний Бернулли. 0,5 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50.
Для решения данной задачи мы можем использовать центральную предельную теорему, которая позволяет нам приблизить распределение количества успехов в испытаниях Бернулли нормальным распределением при большом числе испытаний.
Определим параметры:
- Количество испытаний \( n = 650 \).
- Вероятность успеха в каждом испытании \( p = 0.5 \).
- Среднее количество успехов \( E(X) = n \cdot p = 650 \cdot 0.5 = 325 \).
Находим дисперсию и стандартное отклонение:
- Дисперсия \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 650 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 162.5 \).
- Стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{162.5} \approx 12.72 \).
Мы хотим найти вероятность того, что разница между числом успехов \( X \) и средним количеством успехов \( E(X) \) составляет меньше 50: \[ P(|X - 325| < 50) \]
Это можно переписать как: \[ P(275 < X < 375) \]
Приблизим \( X \) нормальным распределением \( N(325, 12.72^2) \).
Используем стандартное нормальное распределение:
- Находим \( P(X < 375) \) и \( P(X < 275) \).
Для этого преобразуем в Z-оценки: \[ Z_1 = \frac{375 - 325}{12.72} \approx 3.94, \] \[ Z_2 = \frac{275 - 325}{12.72} \approx -3.94. \]
Используя таблицу стандартного нормального распределения, мы можем посмотреть значения: \[ P(Z < 3.94) \approx 1, \] \[ P(Z < -3.94) \approx 0. \]
Таким образом, \[ P(275 < X < 375) = P(Z < 3.94) - P(Z < -3.94) \approx 1 - 0 = 1. \]
Следовательно, вероятность того, что разница между числом успехов и средним количеством успехов составляет меньше 50, очень велика и приближается к 1. Это указывает на то, что с высокой вероятностью количество успехов будет находиться в этом диапазоне.
