Проведено 650 испытаний Бернулли. 0,5 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50.

Для решения данной задачи мы можем использовать центральную предельную теорему, которая позволяет нам приблизить распределение количества успехов в испытаниях Бернулли нормальным распределением при большом числе испытаний. 1. Определим параметры: - Количество испытаний \( n = 650 \). - Вероятность успеха в каждом испытании \( p = 0.5 \). - Среднее количество успехов \( E(X) = n \cdot p = 650 \cdot 0.5 = 325 \). 2. Находим дисперсию и стандартное отклонение: - Дисперсия \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 650 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 162.5 \). - Стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{162.5} \approx 12.72 \). 3. Мы хотим найти вероятность того, что разница между числом успехов \( X \) и средним количеством успехов \( E(X) \) составляет меньше 50: \[ P(|X - 325| < 50) \] Это можно переписать как: \[ P(275 < X < 375) \] 4. Приблизим \( X \) нормальным распределением \( N(325, 12.72^2) \). 5. Используем стандартное нормальное распределение: - Находим \( P(X < 375) \) и \( P(X < 275) \). Для этого преобразуем в Z-оценки: \[ Z_1 = \frac{375 - 325}{12.72} \approx 3.94, \] \[ Z_2 = \frac{275 - 325}{12.72} \approx -3.94. \] 6. Используя таблицу стандартного нормального распределения, мы можем посмотреть значения: \[ P(Z < 3.94) \approx 1, \] \[ P(Z < -3.94) \approx 0. \] 7. Таким образом, \[ P(275 < X < 375) = P(Z < 3.94) - P(Z < -3.94) \approx 1 - 0 = 1. \] Следовательно, вероятность того, что разница между числом успехов и средним количеством успехов составляет меньше 50, очень велика и приближается к 1. Это указывает на то, что с высокой вероятностью количество успехов будет находиться в этом диапазоне.