найдите область определения функции y=3x-2x^2(всё под корнем)

Чтобы определить область определения функции \( y = \sqrt{3x - 2x^2} \), нужно выяснить, при каких значениях \( x \) выражение под корнем неотрицательно, так как квадратный корень из отрицательных чисел не существует в рамках вещественной арифметики.

Начнём с неравенства:

\[ 3x - 2x^2 \geq 0. \]

Это неравенство можно переписать в стандартном виде:

\[ -2x^2 + 3x \geq 0. \]

Для удобства решения умножим обе стороны на -1 (при этом знак неравенства поменяется):

\[ 2x^2 - 3x \leq 0. \]

Теперь мы можем вынести общий множитель:

\[ x(2x - 3) \leq 0. \]

Чтобы найти корни этого уравнения, приравняем его к нулю:

1. \( x = 0 \)
2. \( 2x - 3 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{3}{2} \)

Теперь у нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = \frac{3}{2} \). Эти корни делят числовую ось на три интервала:

1. \( (-\infty; 0) \)
2. \( (0; \frac{3}{2}) \)
3. \( (\frac{3}{2}; +\infty) \)

Теперь определим знак неравенства на каждом из интервалов.

• На интервале \( (-\infty; 0) \): выберем значение, например \( x = -1 \): \( x(-1)(2(-1) - 3) = -1(2 + 3) < 0 \) (отрицательное).

• На интервале \( (0; \frac{3}{2}) \): выберем значение, например \( x = 1 \): \( 1(2(1) - 3) = 1(2 - 3) = 1(-1) < 0 \) (отрицательное).

• На интервале \( (\frac{3}{2}; +\infty) \): выберем значение, например \( x = 2 \): \( 2(2(2) - 3) = 2(4 - 3) = 2(1) > 0 \) (положительное).

Теперь мы можем записать решение неравенства:

Неравенство \( x(2x - 3) \leq 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; 0] \) и \( [0; \frac{3}{2}] \).

Следовательно, область определения функции \( y = \sqrt{3x - 2x^2} \) это:

\[ x \in [0; \frac{3}{2}]. \]

Таким образом, можно сказать, что функция определена на отрезке [0, 1.5].