Найдите область определения функции y=3x-2x^2(всё под корнем)

Чтобы определить область определения функции \( y = \sqrt{3x - 2x^2} \), нужно выяснить, при каких значениях \( x \) выражение под корнем неотрицательно, так как квадратный корень из отрицательных чисел не существует в рамках вещественной арифметики. Начнём с неравенства: \[ 3x - 2x^2 \geq 0. \] Это неравенство можно переписать в стандартном виде: \[ -2x^2 + 3x \geq 0. \] Для удобства решения умножим обе стороны на -1 (при этом знак неравенства поменяется): \[ 2x^2 - 3x \leq 0. \] Теперь мы можем вынести общий множитель: \[ x(2x - 3) \leq 0. \] Чтобы найти корни этого уравнения, приравняем его к нулю: 1. \( x = 0 \) 2. \( 2x - 3 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{3}{2} \) Теперь у нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = \frac{3}{2} \). Эти корни делят числовую ось на три интервала: 1. \( (-\infty; 0) \) 2. \( (0; \frac{3}{2}) \) 3. \( (\frac{3}{2}; +\infty) \) Теперь определим знак неравенства на каждом из интервалов. - На интервале \( (-\infty; 0) \): выберем значение, например \( x = -1 \): \( x(-1)(2(-1) - 3) = -1(2 + 3) < 0 \) (отрицательное). - На интервале \( (0; \frac{3}{2}) \): выберем значение, например \( x = 1 \): \( 1(2(1) - 3) = 1(2 - 3) = 1(-1) < 0 \) (отрицательное). - На интервале \( (\frac{3}{2}; +\infty) \): выберем значение, например \( x = 2 \): \( 2(2(2) - 3) = 2(4 - 3) = 2(1) > 0 \) (положительное). Теперь мы можем записать решение неравенства: Неравенство \( x(2x - 3) \leq 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; 0] \) и \( [0; \frac{3}{2}] \). Следовательно, область определения функции \( y = \sqrt{3x - 2x^2} \) это: \[ x \in [0; \frac{3}{2}]. \] Таким образом, можно сказать, что функция определена на отрезке [0, 1.5].