(х-5) (х+4) (3х-4)/ (х +1)2 метод интервала

Метод интервалов – это способ определения знака функции на заданных интервалах. В данном случае мы имеем рациональную функцию: \[ f(x) = \frac{(x - 5)(x + 4)(3x - 4)}{(x + 1)^2} \] Чтобы применить метод интервалов, следуем следующим шагам: 1. Найдем нули числителя и знаменателя. 2. Определим знаки функции на полученных интервалах. **1. Нули числителя:** Нули числителя — это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). Итак, для числителя: \[ (x - 5)(x + 4)(3x - 4) = 0 \] Нули: - \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) - \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\) - \(3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}\) **2. Нули знаменателя:** Знаменатель равен нулю, если: \[ (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Знаменатель не может равняться нулю, поэтому в этом месте функция не определена. **3. Интервалы:** Теперь определим точки, которые разделяют числовую прямую на интервалы: Точки: \(x = -4\), \(x = -1\), \(x = \frac{4}{3}\), \(x = 5\). Получаем следующие интервалы: 1. \((-∞, -4)\) 2. \((-4, -1)\) 3. \((-1, \frac{4}{3})\) 4. \((\frac{4}{3}, 5)\) 5. \((5, +∞)\) **4. Проверка знака:** Теперь выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в функцию \(f(x)\) для определения знака. 1. Для \((-∞, -4)\), например, точка \(x = -5\): \[ f(-5) = \frac{(-5 - 5)(-5 + 4)(3(-5) - 4)}{(-5 + 1)^2} = \frac{(-10)(-1)(-15)}{16} < 0 \] 2. Для \((-4, -1)\), например, точка \(x = -2\): \[ f(-2) = \frac{(-2 - 5)(-2 + 4)(3(-2) - 4)}{(-2 + 1)^2} = \frac{(-7)(2)(-10)}{1} > 0 \] 3. Для \((-1, \frac{4}{3})\), например, точка \(x = 0\): \[ f(0) = \frac{(0 - 5)(0 + 4)(3(0) - 4)}{(0 + 1)^2} = \frac{(-5)(4)(-4)}{1} > 0 \] 4. Для \((\frac{4}{3}, 5)\), например, точка \(x = 2\): \[ f(2) = \frac{(2 - 5)(2 + 4)(3(2) - 4)}{(2 + 1)^2} = \frac{(-3)(6)(2)}{9} < 0 \] 5. Для \((5, +∞)\), например, точка \(x = 6\): \[ f(6) = \frac{(6 - 5)(6 + 4)(3(6) - 4)}{(6 + 1)^2} = \frac{(1)(10)(14)}{49} > 0 \] **5. Итоги:** Итак, знаки функции на интервалах: - \((-∞, -4)\): \(f(x) < 0\) - \((-4, -1)\): \(f(x) > 0\) - \((-1, \frac{4}{3})\): \(f(x) > 0\) - \((\frac{4}{3}, 5)\): \(f(x) < 0\) - \((5, +∞)\): \(f(x) > 0\) Записывая знаки по интервалам, можем сделать вывод о поведении функции на числовой прямой.