(х-5) (х+4) (3х-4)/ (х +1)2 метод интервала

Метод интервалов – это способ определения знака функции на заданных интервалах. В данном случае мы имеем рациональную функцию:

\[ f(x) = \frac{(x - 5)(x + 4)(3x - 4)}{(x + 1)^2} \]

Чтобы применить метод интервалов, следуем следующим шагам:

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
2. Определим знаки функции на полученных интервалах.

1. Нули числителя:

Нули числителя — это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). Итак, для числителя:

\[ (x - 5)(x + 4)(3x - 4) = 0 \]

Нули:

• \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
• \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
• \(3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}\)

2. Нули знаменателя:

Знаменатель равен нулю, если:

\[ (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]

Знаменатель не может равняться нулю, поэтому в этом месте функция не определена.

3. Интервалы:

Теперь определим точки, которые разделяют числовую прямую на интервалы:

Точки: \(x = -4\), \(x = -1\), \(x = \frac{4}{3}\), \(x = 5\).

Получаем следующие интервалы:

1. \((-∞, -4)\)
2. \((-4, -1)\)
3. \((-1, \frac{4}{3})\)
4. \((\frac{4}{3}, 5)\)
5. \((5, +∞)\)

4. Проверка знака:

Теперь выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в функцию \(f(x)\) для определения знака.

1. Для \((-∞, -4)\), например, точка \(x = -5\): \[ f(-5) = \frac{(-5 - 5)(-5 + 4)(3(-5) - 4)}{(-5 + 1)^2} = \frac{(-10)(-1)(-15)}{16} < 0 \]

2. Для \((-4, -1)\), например, точка \(x = -2\): \[ f(-2) = \frac{(-2 - 5)(-2 + 4)(3(-2) - 4)}{(-2 + 1)^2} = \frac{(-7)(2)(-10)}{1} > 0 \]

3. Для \((-1, \frac{4}{3})\), например, точка \(x = 0\): \[ f(0) = \frac{(0 - 5)(0 + 4)(3(0) - 4)}{(0 + 1)^2} = \frac{(-5)(4)(-4)}{1} > 0 \]

4. Для \((\frac{4}{3}, 5)\), например, точка \(x = 2\): \[ f(2) = \frac{(2 - 5)(2 + 4)(3(2) - 4)}{(2 + 1)^2} = \frac{(-3)(6)(2)}{9} < 0 \]

5. Для \((5, +∞)\), например, точка \(x = 6\): \[ f(6) = \frac{(6 - 5)(6 + 4)(3(6) - 4)}{(6 + 1)^2} = \frac{(1)(10)(14)}{49} > 0 \]

5. Итоги:

Итак, знаки функции на интервалах:

• \((-∞, -4)\): \(f(x) < 0\)
• \((-4, -1)\): \(f(x) > 0\)
• \((-1, \frac{4}{3})\): \(f(x) > 0\)
• \((\frac{4}{3}, 5)\): \(f(x) < 0\)
• \((5, +∞)\): \(f(x) > 0\)

Записывая знаки по интервалам, можем сделать вывод о поведении функции на числовой прямой.