Для решения этой задачи давайте обозначим собственную скорость катера как ( v ) км/ч. Скорость течения реки известна и составляет 6 км/ч.
Когда катер движется против течения, его эффективная скорость равна ( v - 6 ) км/ч, а при движении по течению — ( v + 6 ) км/ч.
Теперь можем рассчитать время, затраченное катером на оба пути:
Время, затраченное на движение против течения:
[
t_1 = \frac{24}{v - 6}
]
Время, затраченное на движение по течению:
[
t_2 = \frac{10}{v + 6}
]
Согласно условию, общее время, затраченное на движение против и по течению, равно времени, которое затратил бы катер на 36 км по озеру. Поскольку скорость катера по озеру равна его собственной скорости ( v ), время будет:
[
t_{озеро} = \frac{36}{v}
]
Теперь мы можем записать уравнение:
[
t_1 + t_2 = t_{озеро}
]
[
\frac{24}{v - 6} + \frac{10}{v + 6} = \frac{36}{v}
]
Теперь умножим обе стороны на ( v(v - 6)(v + 6) ) чтобы избавиться от дробей:
[
24v(v + 6) + 10v(v - 6) = 36(v - 6)(v + 6)
]
Раскроем скобки:
[
24v^2 + 144v + 10v^2 - 60v = 36(v^2 - 36)
]
[
34v^2 + 84v = 36v^2 - 1296
]
Переносим все на одну сторону:
[
34v^2 + 84v - 36v^2 + 1296 = 0
]
[
-2v^2 + 84v + 1296 = 0
]
Умножим уравнение на -1 для удобства:
[
2v^2 - 84v - 1296 = 0
]
Теперь можем использовать квадратное уравнение ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 2 ), ( b = -84 ), ( c = -1296 ). Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-84)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1296)
]
[
D = 7056 + 10368 = 17424
]
Теперь находим корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{84 \pm \sqrt{17424}}{4}
]
Сначала найдем ( \sqrt{17424} ):
[
\sqrt{17424} \approx 132
]
Теперь подставим это значение:
[
v = \frac{84 \pm 132}{4}
]
Получаем два решения:
- ( v = \frac{216}{4} = 54 )
- ( v = \frac{-48}{4} = -12 ) (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, собственная скорость катера составляет:
[
v = 54 \text{ км/ч}
]
