Найдите наименьшее значение функции Y-5 tgx-5x+6 на отрезке {0; П/4}
Для нахождения наименьшего значения функции \( Y = -5 \tan(x) - 5x + 6 \) на отрезке \( [0, \frac{\pi}{4}] \) необходимо сначала определить критические точки функции и затем проверить значения на границах отрезка.
Найдите производную функции: \[ Y' = -5 \sec^2(x) - 5 \]
Найдите критические точки: Установим производную равной нулю для поиска критических точек: \[ -5 \sec^2(x) - 5 = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как \( \sec^2(x) \) всегда положительно.
Определите значения функции на границах отрезка: Вычислим \( Y \) в точках \( x = 0 \) и \( x = \frac{\pi}{4} \):
Для \( x = 0 \): \[ Y(0) = -5 \tan(0) - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \]
Для \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ Y\left(\frac{\pi}{4}\right) = -5 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 5 \cdot \frac{\pi}{4} + 6 = -5 \cdot 1 - \frac{5\pi}{4} + 6 \] \[ = -5 - \frac{5\pi}{4} + 6 = 1 - \frac{5\pi}{4} \]
Сравните значения:
- \( Y(0) = 6 \)
- \( Y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - \frac{5\pi}{4} \)
Теперь заметим, что \( \frac{5\pi}{4} \approx 3.93 \), следовательно \( 1 - \frac{5\pi}{4} \) будет отрицательным значением.
Наименьшее значение функции: Таким образом, наименьшее значение функции \( Y = -5 \tan(x) - 5x + 6 \) на отрезке \( [0, \frac{\pi}{4}] \) достигается при \( x = \frac{\pi}{4} \) и равно \( 1 - \frac{5\pi}{4} \).
