Точка S делит отрезок PO на два отрезка различной длины. Докажите, что длина отрезка PO в два раза больше расстояния между серединами отрезков PS и SO.

Рассмотрим отрезок \( PO \), который делится точкой \( S \) на два отрезка \( PS \) и \( SO \). Обозначим длину отрезка \( PS \) как \( a \), а длину отрезка \( SO \) как \( b \). Тогда длина отрезка \( PO \) равна \( PO = PS + SO = a + b \).

Согласно условию, точка \( S \) делит отрезок \( PO \) на два отрезка различной длины. Без потери общности, пусть \( a < b \).

Теперь найдем середины отрезков \( PS \) и \( SO \):

• Середина отрезка \( PS \) обозначим как \( M_1 \). Используя координаты, если \( P \) имеет координаты \( P(0) \), а \( S \) имеет координаты \( S(a) \), то: \[ M_1 = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2} \]

• Середина отрезка \( SO \) обозначим как \( M_2 \). Если \( S \) имеет координаты \( S(a) \), а \( O \) имеет координаты \( O(a + b) \), то: \[ M_2 = \frac{a + (a + b)}{2} = \frac{2a + b}{2} \]

Теперь найдем расстояние между серединами \( M_1 \) и \( M_2 \): \[ d = M_2 - M_1 = \frac{2a + b}{2} - \frac{a}{2} = \frac{2a + b - a}{2} = \frac{a + b}{2} \]

Теперь выразим длину отрезка \( PO \): \[ PO = a + b \]

Покажем, что длина отрезка \( PO \) в два раза больше расстояния между серединами отрезков \( PS \) и \( SO \): \[ 2d = 2 \cdot \frac{a + b}{2} = a + b = PO \]

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка \( PO \) действительно в два раза больше расстояния между серединами отрезков \( PS \) и \( SO \).