2х²+6хменьше или равно 0

Давайте разберем неравенство \( 2x^2 + 6x \leq 0 \) шаг за шагом. 1. **Приведение неравенства к стандартному виду.** Мы можем начать с того, чтобы вынести общий множитель. В данном случае общий множитель — это \( 2x \). Запишем неравенство в более простом виде: \[ 2x(x + 3) \leq 0 \] 2. **Нахождение корней неравенства.** Чтобы решить данное неравенство, найдем, при каких значениях \( x \) произведение равно нулю. То есть решим уравнение: \[ 2x(x + 3) = 0 \] Это уравнение равно нулю при: - \( 2x = 0 \) → \( x = 0 \) - \( x + 3 = 0 \) → \( x = -3 \) Таким образом, корни данного уравнения: \( x = 0 \) и \( x = -3 \). 3. **Анализ знаков.** Теперь мы можем проанализировать знаки произведения \( 2x(x + 3) \) на интервалах между найденными корнями: - \( (-\infty, -3) \) - \( (-3, 0) \) - \( (0, +\infty) \) Теперь проверим знак на каждом интервале: - Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( 2(-4)((-4) + 3) = 2 \cdot (-4) \cdot (-1) = 8 \) (положительное). - Для \( -3 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( 2(-1)((-1) + 3) = 2 \cdot (-1) \cdot 2 = -4 \) (отрицательное). - Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( 2(1)((1) + 3) = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8 \) (положительное). 4. **Вывод.** Мы видим, что неравенство \( 2x(x + 3) \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-3, 0] \), включая конечные точки, так как в них значение равно нулю. Таким образом, ответом будет: \( x \in [-3, 0] \).