2х²+6хменьше или равно 0
Давайте разберем неравенство \( 2x^2 + 6x \leq 0 \) шаг за шагом.
Приведение неравенства к стандартному виду. Мы можем начать с того, чтобы вынести общий множитель. В данном случае общий множитель — это \( 2x \). Запишем неравенство в более простом виде: \[ 2x(x + 3) \leq 0 \]
Нахождение корней неравенства. Чтобы решить данное неравенство, найдем, при каких значениях \( x \) произведение равно нулю. То есть решим уравнение: \[ 2x(x + 3) = 0 \] Это уравнение равно нулю при:
- \( 2x = 0 \) → \( x = 0 \)
- \( x + 3 = 0 \) → \( x = -3 \)
Таким образом, корни данного уравнения: \( x = 0 \) и \( x = -3 \).
Анализ знаков. Теперь мы можем проанализировать знаки произведения \( 2x(x + 3) \) на интервалах между найденными корнями:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Теперь проверим знак на каждом интервале:
- Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( 2(-4)((-4) + 3) = 2 \cdot (-4) \cdot (-1) = 8 \) (положительное).
- Для \( -3 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( 2(-1)((-1) + 3) = 2 \cdot (-1) \cdot 2 = -4 \) (отрицательное).
- Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( 2(1)((1) + 3) = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8 \) (положительное).
Вывод. Мы видим, что неравенство \( 2x(x + 3) \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-3, 0] \), включая конечные точки, так как в них значение равно нулю.
Таким образом, ответом будет: \( x \in [-3, 0] \).
