2х2+6х больше или равно 0

Давайте решим неравенство \(2x^2 + 6x \geq 0\).

1. Переведем неравенство в стандартную форму: Мы можем вынести общий множитель \(2x\): \[ 2x(x + 3) \geq 0 \]

2. Найдем нули функции: Нули данной функции находятся, когда \(2x(x + 3) = 0\): \[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \] Это дает нам два значения: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -3 \]

3. Построим интервалы: Нули разделяют числовую ось на три интервала: \((-\infty, -3)\), \((-3, 0)\) и \((0, +\infty)\).

4. Определим знак функции на каждом интервале:

   • Для интервала \((-\infty, -3)\), выберем, например, \(x = -4\): \[ 2(-4)((-4)+3) = 2(-4)(-1) = 8 \quad (\text{положительно}) \]
   • Для интервала \((-3, 0)\), выберем, например, \(x = -1\): \[ 2(-1)((-1)+3) = 2(-1)(2) = -4 \quad (\text{отрицательно}) \]
   • Для интервала \((0, +\infty)\), выберем, например, \(x = 1\): \[ 2(1)((1)+3) = 2(1)(4) = 8 \quad (\text{положительно}) \]

5. Подводим итоги: Функция \(2x(x + 3)\) положительна на интервалах \((-\infty, -3)\) и \((0, +\infty)\), а также равна нулю в точках \(x = -3\) и \(x = 0\).

Таким образом, итоговый ответ: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty) \] Это означает, что все значения \(x\) в указанных интервалах удовлетворяют неравенству \(2x^2 + 6x \geq 0\).