периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м². Найдите длины сторон прямоугольника

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим длины сторон прямоугольника как \(a\) и \(b\). У нас есть две основные формулы, которые нам помогут:

1. Периметр прямоугольника:
   \[ P = 2(a + b) \] В нашем случае \(P = 182\) м. Это значит, что
   \[ 2(a + b) = 182 \] Разделим обе стороны на 2:
   \[ a + b = 91 \]

2. Площадь прямоугольника:
   \[ S = a \times b \] Здесь у нас площадь \(S = 1830\) м², значит
   \[ a \times b = 1830 \]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \(a + b = 91\)
2. \(a \times b = 1830\)

Из первого уравнения можем выразить одну из сторон через другую. Например, выразим \(b\): \[ b = 91 - a \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ a \times (91 - a) = 1830 \]

Раскроем скобки: \[ 91a - a^2 = 1830 \]

Перепишем уравнение так, чтобы все члены были по одной стороне: \[ a^2 - 91a + 1830 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение, применив формулу Бхаскары: \[ D = b^2 - 4ac = (-91)^2 - 4 \times 1 \times 1830 \] \[ D = 8281 - 7320 = 961 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Теперь найдем корни: \[ a = \frac{-(-91) \pm \sqrt{961}}{2 \times 1} = \frac{91 \pm 31}{2} \]

Два возможных значения для \(a\):

1. \(a_1 = \frac{122}{2} = 61\)
2. \(a_2 = \frac{60}{2} = 30\)

Теперь найдём соответствующие значения \(b\): Если \(a = 61\), то
\[ b = 91 - 61 = 30 \]

Если \(a = 30\), то
\[ b = 91 - 30 = 61 \]

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 30 м и 61 м.