Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим длины сторон прямоугольника как (a) и (b). У нас есть две основные формулы, которые нам помогут:
Периметр прямоугольника:
[
P = 2(a + b)
]
В нашем случае (P = 182) м. Это значит, что
[
2(a + b) = 182
]
Разделим обе стороны на 2:
[
a + b = 91
]
Площадь прямоугольника:
[
S = a \times b
]
Здесь у нас площадь (S = 1830) м², значит
[
a \times b = 1830
]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- (a + b = 91)
- (a \times b = 1830)
Из первого уравнения можем выразить одну из сторон через другую. Например, выразим (b):
[
b = 91 - a
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
a \times (91 - a) = 1830
]
Раскроем скобки:
[
91a - a^2 = 1830
]
Перепишем уравнение так, чтобы все члены были по одной стороне:
[
a^2 - 91a + 1830 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение, применив формулу Бхаскары:
[
D = b^2 - 4ac = (-91)^2 - 4 \times 1 \times 1830
]
[
D = 8281 - 7320 = 961
]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Теперь найдем корни:
[
a = \frac{-(-91) \pm \sqrt{961}}{2 \times 1} = \frac{91 \pm 31}{2}
]
Два возможных значения для (a):
- (a_1 = \frac{122}{2} = 61)
- (a_2 = \frac{60}{2} = 30)
Теперь найдём соответствующие значения (b):
Если (a = 61), то
[
b = 91 - 61 = 30
]
Если (a = 30), то
[
b = 91 - 30 = 61
]
Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 30 м и 61 м.
