чему равны стороны прямоугольника, если периметр равен 42 см, а площадь 80 см²
Для решения задачи о прямоугольнике, где известны периметр и площадь, воспользуемся формулами для этих величин.
Формула периметра: Периметр \( P \) прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.
Формула площади: Площадь \( S \) прямоугольника вычисляется следующим образом: \[ S = a \cdot b \]
Из условия задачи у нас есть:
- Периметр \( P = 42 \) см
- Площадь \( S = 80 \) см²
Теперь подставим значение периметра в формулу: \[ 42 = 2(a + b) \implies a + b = 21 \quad (1) \]
Теперь подставим значение площади в формулу: \[ a \cdot b = 80 \quad (2) \]
Теперь у нас есть две системы уравнений. Из уравнения (1) можем выразить одну сторону через другую: \[ b = 21 - a \]
Теперь подставим выражение для \( b \) в уравнение (2): \[ a(21 - a) = 80 \] Раскроем скобки: \[ 21a - a^2 = 80 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 21a + 80 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 441 - 320 = 121 \] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня: \[ a_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{21 \pm 11}{2} \] Решая это, получаем: \[ a_1 = \frac{32}{2} = 16, \quad a_2 = \frac{10}{2} = 5 \]
Таким образом, у нас есть два возможных значения для сторон:
- Если \( a = 16 \) см, то \( b = 21 - 16 = 5 \) см.
- Если \( a = 5 \) см, то \( b = 21 - 5 = 16 \) см.
Итак, стороны прямоугольника равны 16 см и 5 см.
