Для решения задачи о прямоугольнике, где известны периметр и площадь, воспользуемся формулами для этих величин.
Формула периметра:
Периметр ( P ) прямоугольника рассчитывается по формуле:
[
P = 2(a + b)
]
где ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника.
Формула площади:
Площадь ( S ) прямоугольника вычисляется следующим образом:
[
S = a \cdot b
]
Из условия задачи у нас есть:
- Периметр ( P = 42 ) см
- Площадь ( S = 80 ) см²
Теперь подставим значение периметра в формулу:
[
42 = 2(a + b) \implies a + b = 21 \quad (1)
]
Теперь подставим значение площади в формулу:
[
a \cdot b = 80 \quad (2)
]
Теперь у нас есть две системы уравнений. Из уравнения (1) можем выразить одну сторону через другую:
[
b = 21 - a
]
Теперь подставим выражение для ( b ) в уравнение (2):
[
a(21 - a) = 80
]
Раскроем скобки:
[
21a - a^2 = 80
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
a^2 - 21a + 80 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 441 - 320 = 121
]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
[
a_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{21 \pm 11}{2}
]
Решая это, получаем:
[
a_1 = \frac{32}{2} = 16, \quad a_2 = \frac{10}{2} = 5
]
Таким образом, у нас есть два возможных значения для сторон:
- Если ( a = 16 ) см, то ( b = 21 - 16 = 5 ) см.
- Если ( a = 5 ) см, то ( b = 21 - 5 = 16 ) см.
Итак, стороны прямоугольника равны 16 см и 5 см.
