Случайная величина Х равна числу успехов в схеме Бернулли при трех испытаниях. Вероятность успеха в каждом испытания равна р. Составить ряд распределения СВ Х, найти ее функцию…

Давайте разберем задачу о случайной величине \(X\), которая представляет собой число успехов в схеме Бернулли при трех испытаниях. Мы знаем, что вероятность успеха в каждом испытании равна \(p = 0.3\).

1. Ряд распределения случайной величины \(X\)

Случайная величина \(X\) в нашем случае подчиняется биномиальному распределению \(B(n, p)\), где \(n = 3\) — число испытаний, а \(p = 0.3\) — вероятность успеха. Значения \(X\) могут быть 0, 1, 2 или 3. Вероятности для каждой из этих величин можно найти по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\).

Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения:

• \(P(X = 0)\): \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.343 = 0.343 \]

• \(P(X = 1)\): \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^2 = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.49 = 0.441 \]

• \(P(X = 2)\): \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^1 = 3 \cdot 0.09 \cdot 0.7 = 0.189 \]

• \(P(X = 3)\): \[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^0 = 1 \cdot 0.027 \cdot 1 = 0.027 \]

Теперь получаем распределение:

\[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0.343 \\ P(X = 1) & = 0.441 \\ P(X = 2) & = 0.189 \\ P(X = 3) & = 0.027 \\ \end{align*} \]

2. Функция распределения

Функция распределения \(F(X)\) для данной случайной величины:

\[ \begin{align*} F(0) & = P(X \leq 0) = P(X = 0) = 0.343 \\ F(1) & = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.343 + 0.441 = 0.784 \\ F(2) & = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.784 + 0.189 = 0.973 \\ F(3) & = P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.973 + 0.027 = 1.0 \\ \end{align*} \]

3. Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание \(E(X)\) определяется как:

\[ E(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0.3 = 0.9 \]

Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле:

\[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.630 \]

Среднеквадратическое отклонение \( \sigma \) вычисляется как:

\[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.630} \approx 0.794 \]

4. График функции распределения

Чтобы построить график функции распределения \( F(X) \), отметим следующие точки:

\[ \begin{align*} (0, 0.343),\\ (1, 0.784),\\ (2, 0.973),\\ (3, 1.0)\\ \end{align*} \]

Соединив эти точки, вы получите график функции распределения, который будет возрастать, а именно:

• На интервале от -∞ до 0 функция равна 0.
• На интервале от 0 до 1 функция увеличивается до 0.343.
• Затем продолжает расти до 0.784 на интервале от 1 до 2.
• С окончательным значением 1, когда \(X = 3\).

Таким образом, мы получили всю необходимую информацию о случайной величине \(X\) и ее распределении. Если будут еще вопросы или нужна помощь, не стесняйтесь спрашивать!