Давайте разберем задачу о случайной величине (X), которая представляет собой число успехов в схеме Бернулли при трех испытаниях. Мы знаем, что вероятность успеха в каждом испытании равна (p = 0.3).
1. Ряд распределения случайной величины (X)
Случайная величина (X) в нашем случае подчиняется биномиальному распределению (B(n, p)), где (n = 3) — число испытаний, а (p = 0.3) — вероятность успеха. Значения (X) могут быть 0, 1, 2 или 3. Вероятности для каждой из этих величин можно найти по формуле биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где (C(n, k)) — биномиальный коэффициент, равный (\frac{n!}{k!(n - k)!}).
Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения:
(P(X = 0)):
[
P(X = 0) = C(3, 0) \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.343 = 0.343
]
(P(X = 1)):
[
P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^2 = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.49 = 0.441
]
(P(X = 2)):
[
P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^1 = 3 \cdot 0.09 \cdot 0.7 = 0.189
]
(P(X = 3)):
[
P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^0 = 1 \cdot 0.027 \cdot 1 = 0.027
]
Теперь получаем распределение:
[
\begin{align*}
P(X = 0) & = 0.343 \
P(X = 1) & = 0.441 \
P(X = 2) & = 0.189 \
P(X = 3) & = 0.027 \
\end{align*}
]
2. Функция распределения
Функция распределения (F(X)) для данной случайной величины:
[
\begin{align*}
F(0) & = P(X \leq 0) = P(X = 0) = 0.343 \
F(1) & = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.343 + 0.441 = 0.784 \
F(2) & = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.784 + 0.189 = 0.973 \
F(3) & = P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.973 + 0.027 = 1.0 \
\end{align*}
]
3. Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание (E(X)) определяется как:
[
E(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0.3 = 0.9
]
Дисперсия (D(X)) вычисляется по формуле:
[
D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.630
]
Среднеквадратическое отклонение ( \sigma ) вычисляется как:
[
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.630} \approx 0.794
]
4. График функции распределения
Чтобы построить график функции распределения ( F(X) ), отметим следующие точки:
[
\begin{align*}
(0, 0.343),\
(1, 0.784),\
(2, 0.973),\
(3, 1.0)\
\end{align*}
]
Соединив эти точки, вы получите график функции распределения, который будет возрастать, а именно:
- На интервале от -∞ до 0 функция равна 0.
- На интервале от 0 до 1 функция увеличивается до 0.343.
- Затем продолжает расти до 0.784 на интервале от 1 до 2.
- С окончательным значением 1, когда (X = 3).
Таким образом, мы получили всю необходимую информацию о случайной величине (X) и ее распределении. Если будут еще вопросы или нужна помощь, не стесняйтесь спрашивать!
