Для решения задачи сначала обозначим некоторые переменные:
- Скорость катера в стоячей воде — ( V_k ) (км/ч).
- Скорость течения реки — ( V_t = 1 ) км/ч.
- Расстояние по течению реки — 30 км.
- Время в пути — 3 ч 10 мин, что равно ( 3 + \frac{10}{60} = 3 + \frac{1}{6} = \frac{19}{6} ) ч.
Теперь вычислим время, затраченное на путь вниз по течению (когда катер идет по течению):
- Скорость катера вниз по течению будет равна ( V_k + V_t = V_k + 1 ) км/ч.
- Время спуска вниз по течению:
[
t_1 = \frac{30}{V_k + 1}
]
Теперь посчитаем время на обратный путь (вверх по течению):
- Скорость катера вверх по течению будет равна ( V_k - V_t = V_k - 1 ) км/ч (при условии, что катер все еще может двигаться вверх).
- Время подъема вверх по течению:
[
t_2 = \frac{30}{V_k - 1}
]
Общая формула времени:
[
t_1 + t_2 = \frac{30}{V_k + 1} + \frac{30}{V_k - 1} = \frac{19}{6}
]
Теперь найдем общее время:
[
\frac{30}{V_k + 1} + \frac{30}{V_k - 1} = \frac{19}{6}
]
Умножим обе части уравнения на ( 6(V_k + 1)(V_k - 1) ) для избавления от дробей:
[
180(V_k - 1) + 180(V_k + 1) = 19(V_k + 1)(V_k - 1)
]
Упрощаем уравнение:
[
180V_k - 180 + 180V_k + 180 = 19(V_k^2 - 1)
]
[
360V_k = 19V_k^2 - 19
]
[
19V_k^2 - 360V_k - 19 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с использованием формулы:
[
V_k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 19 ), ( b = -360 ), ( c = -19 ).
Подставим значения:
[
b^2 - 4ac = (-360)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-19) = 129600 + 1444 = 131044
]
[
\sqrt{131044} \approx 362.0
]
Теперь можно найти ( V_k ):
[
V_k = \frac{360 \pm 362}{38}
]
Решения:
- ( V_k = \frac{722}{38} \approx 19.0 ) км/ч
- ( V_k = \frac{-2}{38} ) (отрицательное значение не имеет смысла)
Следовательно, скорость катера в стоячей воде составляет примерно 19 км/ч.
