Катер прошёл 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 ч 10 мин. чему равна скорость катера, если скорость течения реки 1 км/ч?

Для решения задачи сначала обозначим некоторые переменные:

• Скорость катера в стоячей воде — \( V_k \) (км/ч).
• Скорость течения реки — \( V_t = 1 \) км/ч.
• Расстояние по течению реки — 30 км.
• Время в пути — 3 ч 10 мин, что равно \( 3 + \frac{10}{60} = 3 + \frac{1}{6} = \frac{19}{6} \) ч.

Теперь вычислим время, затраченное на путь вниз по течению (когда катер идет по течению):

1. Скорость катера вниз по течению будет равна \( V_k + V_t = V_k + 1 \) км/ч.
2. Время спуска вниз по течению: \[ t_1 = \frac{30}{V_k + 1} \]

Теперь посчитаем время на обратный путь (вверх по течению):

1. Скорость катера вверх по течению будет равна \( V_k - V_t = V_k - 1 \) км/ч (при условии, что катер все еще может двигаться вверх).
2. Время подъема вверх по течению: \[ t_2 = \frac{30}{V_k - 1} \]

Общая формула времени: \[ t_1 + t_2 = \frac{30}{V_k + 1} + \frac{30}{V_k - 1} = \frac{19}{6} \]

Теперь найдем общее время: \[ \frac{30}{V_k + 1} + \frac{30}{V_k - 1} = \frac{19}{6} \]

Умножим обе части уравнения на \( 6(V_k + 1)(V_k - 1) \) для избавления от дробей:

\[ 180(V_k - 1) + 180(V_k + 1) = 19(V_k + 1)(V_k - 1) \]

Упрощаем уравнение: \[ 180V_k - 180 + 180V_k + 180 = 19(V_k^2 - 1) \] \[ 360V_k = 19V_k^2 - 19 \] \[ 19V_k^2 - 360V_k - 19 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с использованием формулы: \[ V_k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 19 \), \( b = -360 \), \( c = -19 \).

Подставим значения: \[ b^2 - 4ac = (-360)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-19) = 129600 + 1444 = 131044 \] \[ \sqrt{131044} \approx 362.0 \]

Теперь можно найти \( V_k \): \[ V_k = \frac{360 \pm 362}{38} \]

Решения:

1. \( V_k = \frac{722}{38} \approx 19.0 \) км/ч
2. \( V_k = \frac{-2}{38} \) (отрицательное значение не имеет смысла)

Следовательно, скорость катера в стоячей воде составляет примерно 19 км/ч.