Чтобы рассмотреть, как изменяется потенциальная энергия пружины при изменении удлинения, можно использовать формулу для потенциальной энергии пружины:
[ U = \frac{1}{2} k x^2 ]
где ( U ) — потенциальная энергия пружины, ( k ) — жесткость пружины, ( x ) — удлинение пружины от её естественного состояния.
В задании указано, что при удлинении на 3 сантиметра (0,03 метра) потенциальная энергия составляет 5 джоулей. Значит, мы можем выразить жесткость пружины следующим образом:
[ 5 = \frac{1}{2} k (0,03)^2 ]
Решив это уравнение, найдем жесткость ( k ):
[ 5 = \frac{1}{2} k \cdot 0,0009 ]
[ k = \frac{5 \cdot 2}{0,0009} ]
[ k = \frac{10}{0,0009} \approx 11111.11 , \text{Н/м} ]
Теперь разберемся, как изменится потенциальная энергия пружины, если уменьшить удлинение на 1 сантиметр (0,01 метра). Новое удлинение будет равно:
[ x' = 0,03 - 0,01 = 0,02 , \text{м} ]
Теперь вычислим новую потенциальную энергию:
[ U' = \frac{1}{2} k (0,02)^2 ]
[ U' = \frac{1}{2} \cdot 11111.11 \cdot (0,02)^2 ]
[ U' = \frac{1}{2} \cdot 11111.11 \cdot 0,0004 ]
[ U' = \frac{1}{2} \cdot 4.444444 \approx 2.222222 , \text{Дж} ]
Теперь находим изменение потенциальной энергии:
[ \Delta U = U' - U = 2.222222 - 5 = -2.777778 , \text{Дж} ]
Таким образом, потенциальная энергия пружины уменьшается приблизительно на 2.78 джоуля при уменьшении удлинения на 1 сантиметр.
