2x-1/x+1 ≤ 1

Для решения неравенства \( \frac{2x - 1}{x + 1} \leq 1 \) нужно выполнить следующие шаги:

1. Переносим 1 на левую сторону неравенства:

\[ \frac{2x - 1}{x + 1} - 1 \leq 0 \]

2. Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{2x - 1 - (x + 1)}{x + 1} \leq 0 \]

3. Упрощаем числитель:

\[ \frac{2x - 1 - x - 1}{x + 1} \leq 0 \] \[ \frac{x - 2}{x + 1} \leq 0 \]

4. Теперь нужно найти, когда дробь меньше или равна нулю. Для этого определим нули числителя и точки, где знаменатель равен нулю:

• Нули числителя: \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)
• Нули знаменателя: \( x + 1 = 0 \) → \( x = -1 \)

5. Теперь рассматриваем полученные точки и определим интервалы:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, 2) \)
• \( (2, +\infty) \)

6. Проверим знаки выражения \( \frac{x - 2}{x + 1} \) в каждом из интервалов:

• Для интервала \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ \frac{-2 - 2}{-2 + 1} = \frac{-4}{-1} = 4 \quad (\text{положительно}) \]

• Для интервала \( (-1, 2) \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{0 - 2}{0 + 1} = \frac{-2}{1} = -2 \quad (\text{отрицательно}) \]

• Для интервала \( (2, +\infty) \) (например, \( x = 3 \)): \[ \frac{3 - 2}{3 + 1} = \frac{1}{4} \quad (\text{положительно}) \]

7. Теперь подводим итоги:

• Дробь \( \frac{x - 2}{x + 1} \) меньше или равна нулю на интервале \( (-1, 2] \). Важно помнить, что точка \( x = -1 \) исключается, потому что в этой точке выражение не определено.

Таким образом, окончательный ответ:

\[ x \in (-1, 2] \]