x(x+8)(x-10)≥0
Для решения неравенства \( x(x+8)(x-10) \geq 0 \) мы начнём с поиска нулевых точек. Это те значения \( x \), при которых произведение равно нулю. Равенство выполняется, когда:
- \( x = 0 \)
- \( x + 8 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -8 \)
- \( x - 10 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 10 \)
Таким образом, нулевые точки — это \( x = -8 \), \( x = 0 \) и \( x = 10 \).
Теперь мы можем разделить числовую ось на интервалы, основываясь на найденных нулях:
- \( (-\infty, -8) \)
- \( (-8, 0) \)
- \( (0, 10) \)
- \( (10, +\infty) \)
Теперь проверим знак произведения в каждом интервале, подставляя различные значения из этих интервалов.
Для интервала \( (-\infty, -8) \), например \( x = -9 \): \( (-9)(-9 + 8)(-9 - 10) = (-9)(-1)(-19) = -171 \) (отрицательный)
Для интервала \( (-8, 0) \), например \( x = -1 \): \( (-1)(-1 + 8)(-1 - 10) = (-1)(7)(-11) = 77 \) (положительный)
Для интервала \( (0, 10) \), например \( x = 1 \): \( (1)(1 + 8)(1 - 10) = (1)(9)(-9) = -81 \) (отрицательный)
Для интервала \( (10, +\infty) \), например \( x = 11 \): \( (11)(11 + 8)(11 - 10) = (11)(19)(1) = 209 \) (положительный)
Теперь мы знаем сигналы на каждом интервале:
- \( (-\infty, -8) \): отрицательный
- \( (-8, 0) \): положительный
- \( (0, 10) \): отрицательный
- \( (10, +\infty) \): положительный
Теперь нужно учесть, что нас интересует неравенство \( \geq 0 \), поэтому включаем нулевые точки. Значит, решение неравенства:
- Включаем нули: \( x = -8 \), \( x = 0 \), \( x = 10 \).
- Положительный промежуток: \( (-8, 0) \) и \( (10, +\infty) \).
Тогда окончательное решение неравенства:
\[ x \in [-8, 0] \cup [10, +\infty) \]
Это означает, что \( x \) больше или равно \( -8 \), и меньше или равно \( 0 \), либо больше или равно \( 10 \).
