Дан треугольник аbc. ac = 24,6 см; угол b = 30°; угол c = 45°. найди сторону ab. (ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.)

Чтобы найти сторону \( ab \) в треугольнике \( ABC \), нам нужно использовать закон синусов или формулы для нахождения сторон через углы. Давайте начнем с применения закона синусов.

Даны:

• \( AC = 24.6 \, \text{см} \)
• \( \angle B = 30^\circ \)
• \( \angle C = 45^\circ \)

Сначала найдем угол \( A \): \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \]

Теперь применим закон синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \( a = BC \)
• \( b = AC = 24.6 \, \text{см} \)
• \( c = AB \)

Поэтому по формуле: \[ \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \] или \[ \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{24.6}{\sin 30^\circ} \]

Зная, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), подставляем значения: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{24.6}{\frac{1}{2}} \]

Переписываем уравнение: \[ AB \cdot 2 = 24.6 \cdot \sqrt{2} \] \[ AB = \frac{24.6 \cdot \sqrt{2}}{2} = 12.3 \cdot \sqrt{2} \]

Ответ уже упрощён, но чтобы указать наименьшее натуральное число под знаком корня, перепишем: \[ AB = 12.3 \sqrt{2} \]

Так как \( 12.3 = \frac{123}{10} \), можно сказать, что \[ AB = \frac{123}{10} \sqrt{2} \]

Любое дальнейшее упрощение не потребуется, так как оно соответствует требованиям задачи.

Следовательно, длина стороны \( AB \) составляет \( 12.3\sqrt{2} \) см, что невозможно перевести в целое число под корнем. Однако, окончательный ответ по окружности остается в форме \( 12.3\sqrt{2} \).