Чтобы найти сторону ( ab ) в треугольнике ( ABC ), нам нужно использовать закон синусов или формулы для нахождения сторон через углы. Давайте начнем с применения закона синусов.
Даны:
- ( AC = 24.6 , \text{см} )
- ( \angle B = 30^\circ )
- ( \angle C = 45^\circ )
Сначала найдем угол ( A ):
[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ
]
Теперь применим закон синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Где:
- ( a = BC )
- ( b = AC = 24.6 , \text{см} )
- ( c = AB )
Поэтому по формуле:
[
\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}
]
или
[
\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{24.6}{\sin 30^\circ}
]
Зная, что ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ) и ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ), подставляем значения:
[
\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{24.6}{\frac{1}{2}}
]
Переписываем уравнение:
[
AB \cdot 2 = 24.6 \cdot \sqrt{2}
]
[
AB = \frac{24.6 \cdot \sqrt{2}}{2} = 12.3 \cdot \sqrt{2}
]
Ответ уже упрощён, но чтобы указать наименьшее натуральное число под знаком корня, перепишем:
[
AB = 12.3 \sqrt{2}
]
Так как ( 12.3 = \frac{123}{10} ), можно сказать, что
[
AB = \frac{123}{10} \sqrt{2}
]
Любое дальнейшее упрощение не потребуется, так как оно соответствует требованиям задачи.
Следовательно, длина стороны ( AB ) составляет ( 12.3\sqrt{2} ) см, что невозможно перевести в целое число под корнем. Однако, окончательный ответ по окружности остается в форме ( 12.3\sqrt{2} ).
