х^4-19х^2+48=0

Для решения уравнения \( x^4 - 19x^2 + 48 = 0 \) можно сделать замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение становится:

\[ y^2 - 19y + 48 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 361 - 192 = 169 \]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

\[ y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{19 \pm 13}{2} \]

Теперь находим корни:

1. \( y_1 = \frac{19 + 13}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
2. \( y_2 = \frac{19 - 13}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

1. \( x^2 = 16 \) \( \Rightarrow x = 4 \) или \( x = -4 \)
2. \( x^2 = 3 \) \( \Rightarrow x = \sqrt{3} \) или \( x = -\sqrt{3} \)

Таким образом, окончательные решения уравнения:

\[ x = 4, \quad x = -4, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} \]