У нас есть уравнение ( x^4 - 19x^2 + 48 = 0 ). Чтобы решить его, удобно использовать замену переменной. Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[
y^2 - 19y + 48 = 0
]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -19 ), ( c = 48 ).
Сначала находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 361 - 192 = 169
]
Теперь находим корни уравнения:
[
y = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{19 \pm 13}{2}
]
Это дает два значения для ( y ):
[
y_1 = \frac{32}{2} = 16
]
[
y_2 = \frac{6}{2} = 3
]
Теперь возвращаемся к переменной ( x ):
Для ( y_1 = 16 ):
[
x^2 = 16 \implies x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4
]
Для ( y_2 = 3 ):
[
x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3}
]
Итак, все корни уравнения ( x^4 - 19x^2 + 48 = 0 ):
[
x = 4, \quad x = -4, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}
]
