Найдите сумму всех значений х, при которых значение дроби 2x²+7x-4/x²+6x-2 равно 1.
Для решения уравнения
\[ \frac{2x^2 + 7x - 4}{x^2 + 6x - 2} = 1 \]
начнем с умножения обеих сторон на знаменатель \(x^2 + 6x - 2\), чтобы избавиться от дроби. Это дает нам:
\[ 2x^2 + 7x - 4 = x^2 + 6x - 2. \]
Переносим все элементы в одну сторону:
\[ 2x^2 + 7x - 4 - x^2 - 6x + 2 = 0. \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ x^2 + (7x - 6x) + (-4 + 2) = 0, \] \[ x^2 + x - 2 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\). Подставляем значения:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \]
Теперь найдем два корня:
- \(x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\),
- \(x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).
Теперь найдем сумму найденных значений \(x\):
\[ S = x_1 + x_2 = 1 + (-2) = -1. \]
Таким образом, сумма всех значений \(x\), при которых дробь равна 1, равна \(-1\).
