Решим каждое из неравенств по очереди.
a) Неравенство:
[
\log_4(x - 1) \leq \log_4(2x + 3)
]
Поскольку логарифм является возрастающей функцией при положительной основе, мы можем убрать логарифмы, при условии, что аргументы логарифмов положительны:
[
x - 1 \leq 2x + 3
]
Решим это неравенство:
Переносим все слагаемые с (x) в одну сторону:
[
-1 - 3 \leq 2x - x
]
[
-4 \leq x
]
То есть:
[
x \geq -4
]
Теперь проверим ограничения для логарифмов. Аргументы должны быть положительными:
- (x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1)
- (2x + 3 > 0 \Rightarrow 2x > -3 \Rightarrow x > -\frac{3}{2})
Таким образом, из условий логарифмов мы получаем, что (x > 1). Это ограничение сильнее, чем найденное (x \geq -4).
Ответ:
[
x \geq 1
]
б) Неравенство:
[
\log_{1/2}(2x + 1) > -1
]
Логарифм с основанием, меньшим 1, является убывающей функцией, поэтому мы можем также убрать логарифм с изменением знака неравенства:
[
2x + 1 < (1/2)^{-1}
]
Значение ((1/2)^{-1} = 2), следовательно, мы получаем:
[
2x + 1 < 2
]
Решаем это неравенство:
Перемещаем 1:
[
2x < 2 - 1
]
[
2x < 1
]
Делим обе стороны на 2:
[
x < \frac{1}{2}
]
Проверим, чтобы аргумент логарифма был положителен:
[
2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}
]
Таким образом, у нас получается два условия:
- (x < \frac{1}{2})
- (x > -\frac{1}{2})
Ответ:
[
-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}
]
Итак, решения неравенств:
a) (x \geq 1)
б) (-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2})
