3. Решите неравенство: a) log4(x - 1)≤log4(2x + 3) б)log1/2(2x+1)>-1

Решим каждое из неравенств по очереди.

a) Неравенство: \[ \log_4(x - 1) \leq \log_4(2x + 3) \]

Поскольку логарифм является возрастающей функцией при положительной основе, мы можем убрать логарифмы, при условии, что аргументы логарифмов положительны:

\[ x - 1 \leq 2x + 3 \]

Решим это неравенство:

1. Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \[ -1 - 3 \leq 2x - x \] \[ -4 \leq x \] То есть: \[ x \geq -4 \]

2. Теперь проверим ограничения для логарифмов. Аргументы должны быть положительными:

   • \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
   • \(2x + 3 > 0 \Rightarrow 2x > -3 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}\)

Таким образом, из условий логарифмов мы получаем, что \(x > 1\). Это ограничение сильнее, чем найденное \(x \geq -4\).

Ответ: \[ x \geq 1 \]

б) Неравенство: \[ \log_{1/2}(2x + 1) > -1 \]

Логарифм с основанием, меньшим 1, является убывающей функцией, поэтому мы можем также убрать логарифм с изменением знака неравенства:

\[ 2x + 1 < (1/2)^{-1} \]

Значение \((1/2)^{-1} = 2\), следовательно, мы получаем: \[ 2x + 1 < 2 \]

Решаем это неравенство:

1. Перемещаем 1: \[ 2x < 2 - 1 \] \[ 2x < 1 \] Делим обе стороны на 2: \[ x < \frac{1}{2} \]

2. Проверим, чтобы аргумент логарифма был положителен: \[ 2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2} \]

Таким образом, у нас получается два условия:

• \(x < \frac{1}{2}\)
• \(x > -\frac{1}{2}\)

Ответ: \[ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \]

Итак, решения неравенств: a) \(x \geq 1\) б) \(-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\)