исследуйте следующую функции на монотонность: y=x-ln x

Чтобы исследовать функцию \( y = x - \ln x \) на монотонность, начнем с нахождения её производной. Монотонность функции определяется знаком её производной. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна, функция убывает.

1. Найдем производную:

\[ y' = \frac{d}{dx}(x - \ln x) = 1 - \frac{1}{x} \]

2. Теперь найдем, когда производная равна нулю, чтобы определить критические точки:

\[ 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x = 1 \]

3. Теперь мы исследуем знак производной в интервалах, которые определяет найденная критическая точка:

• Для \( x < 1 \):

  • Пусть, например, \( x = 0.5 \): \[ y' = 1 - \frac{1}{0.5} = 1 - 2 = -1 \quad (\text{производная отрицательна, функция убывает}) \]

• Для \( x > 1 \):

  • Пусть, например, \( x = 2 \): \[ y' = 1 - \frac{1}{2} = 1 - 0.5 = 0.5 \quad (\text{производная положительна, функция возрастает}) \]

4. Резюмируем:

• Функция убывает на интервале \( (0, 1) \).
• Функция возрастает на интервале \( (1, +\infty) \).

Таким образом, функция \( y = x - \ln x \) имеет минимум в точке \( x = 1 \). На этом интервале можно также проверить значения функции, подставив \( x = 1 \) в исходную функцию:

\[ y(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \]

Итак, минимальное значение функции равно 1, которое достигается при \( x = 1 \).