исследуйте функцию и постройте график
Привет! Давай разберемся с заданием. Нам нужно исследовать функцию и построить её график. У нас есть функция \( f(x) = -x^2 + 5x + 4 \).
Найдем вершину параболы.
Функция \( f(x) = -x^2 + 5x + 4 \) — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Чтобы найти вершину параболы, используем формулу для нахождения x-координаты вершины: \( x_v = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 5 \).
\( x_v = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} \).
Найдем y-координату вершины.
Подставим \( x_v = \frac{5}{2} \) в уравнение функции:
\[ y_v = -\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \frac{5}{2} + 4 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + 4. \]
Упростим:
\[ y_v = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} + \frac{16}{4} = \frac{41}{4}. \]
Вершина параболы: \( \left(\frac{5}{2}, \frac{41}{4}\right) \).
Найдем нули функции.
Решим уравнение \( -x^2 + 5x + 4 = 0 \) дискриминантом.
Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)4 = 25 + 16 = 41 \).
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня.
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{-2} \).
Корни: \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \), \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \).
Построим график.
Парабола открыта вниз, так как \( a = -1 \). Главные точки: вершина и нули. Также учти точку пересечения с осью y: \( f(0) = 4 \).
Все, готово! Теперь у нас есть вершина, нули и точка пересечения с осью y. Можно строить график!
