концом отрезка служил точка А (-3;-5;1) а его серединой точка С (3;-2;0) Найдите второй конец отрезка точку В Найдите длину вектора АБ и расстояние между точками А и С
Для нахождения второго конца отрезка, точки В, мы можем использовать формулу для середины отрезка. Сначала давайте запишем координаты точек, которые нам даны:
- Точка А: A(-3; -5; 1)
- Середина отрезка: C(3; -2; 0)
Формула для нахождения координат середины отрезка между двумя точками A (x1, y1, z1) и B (x2, y2, z2) выглядит следующим образом:
\[ C(x_c, y_c, z_c) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \]
Так как мы знаем координаты точки A и координаты середины C, можем выразить координаты точки B:
Для координаты x: \[ 3 = \frac{-3 + x_2}{2} \] Умножим обе части на 2: \[ 6 = -3 + x_2 \] \[ x_2 = 9 \]
Для координаты y: \[ -2 = \frac{-5 + y_2}{2} \] Умножим обе части на 2: \[ -4 = -5 + y_2 \] \[ y_2 = 1 \]
Для координаты z: \[ 0 = \frac{1 + z_2}{2} \] Умножим обе части на 2: \[ 0 = 1 + z_2 \] \[ z_2 = -1 \]
Таким образом, координаты точки B: \[ B(9; 1; -1) \]
Теперь найдем длину вектора AB и расстояние между точками A и C. Длина вектора AB рассчитывается по формуле:
\[ ||AB|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]
Подставим координаты точек A и B:
\[ ||AB|| = \sqrt{(9 - (-3))^2 + (1 - (-5))^2 + (-1 - 1)^2} \] \[ ||AB|| = \sqrt{(9 + 3)^2 + (1 + 5)^2 + (-1 - 1)^2} \] \[ ||AB|| = \sqrt{(12)^2 + (6)^2 + (-2)^2} \] \[ ||AB|| = \sqrt{144 + 36 + 4} \] \[ ||AB|| = \sqrt{184} \] \[ ||AB|| = 2\sqrt{46} \]
Теперь найдем расстояние между точками A и C:
\[ ||AC|| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \]
Подставим координаты A и C:
\[ ||AC|| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-2 - (-5))^2 + (0 - 1)^2} \] \[ ||AC|| = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-2 + 5)^2 + (0 - 1)^2} \] \[ ||AC|| = \sqrt{(6)^2 + (3)^2 + (-1)^2} \] \[ ||AC|| = \sqrt{36 + 9 + 1} \] \[ ||AC|| = \sqrt{46} \]
В итоге, мы нашли:
- Координаты точки B: \( B(9; 1; -1) \)
- Длина вектора \( ||AB|| = 2\sqrt{46} \)
- Расстояние между точками A и C: \( ||AC|| = \sqrt{46} \)
