2y² + 5y + 2 / y² - 4 = 1 Решите уравнение

Чтобы решить уравнение \( \frac{2y^2 + 5y + 2}{y^2 - 4} = 1 \), начнем с приведения его к более простому виду. 1. Умножим обе стороны на \( y^2 - 4 \) (при условии, что \( y^2 - 4 \neq 0 \)): \[ 2y^2 + 5y + 2 = y^2 - 4 \] 2. Переносим все слагаемые на одну сторону: \[ 2y^2 + 5y + 2 - y^2 + 4 = 0 \] 3. Упрощаем уравнение: \[ y^2 + 5y + 6 = 0 \] 4. Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней: \[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = 6 \). 5. Подставим значения: \[ y = \frac{{-5 \pm \sqrt{{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{{-5 \pm \sqrt{{25 - 24}}}}{2} \] \[ y = \frac{{-5 \pm \sqrt{1}}}{2} \] 6. Теперь находим корни: \[ y = \frac{{-5 + 1}}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y = \frac{{-5 - 1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] Таким образом, мы нашли корни уравнения: \( y = -2 \) и \( y = -3 \). 7. Не забудем, что мы при умножении на \( y^2 - 4 \) предположили, что \( y^2 - 4 \neq 0 \). Решим неравенство: \[ y^2 - 4 = 0 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \] Следовательно, \( y = -2 \) не является допустимым решением. Оставшееся решение: \[ y = -3 \] В итоге, единственное действительное решение уравнения — это \( y = -3 \).