Точка  H является основанием высоты  NH, проведённой из вершины прямого угла  N прямоугольного треугольника  MNK. Окружность с диаметром  NH пересекает стороны  NK и  NM в точках  E и  F соответственно. Найди  EF, если  NH=7.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Мы знаем, что окружность с диаметром \(NH\) имеет центр в середине отрезка \(NH\) и радиус, равный половине длины диаметра. Так как \(NH = 7\), соответственно радиус окружности будет: \[ r = \frac{NH}{2} = \frac{7}{2} = 3.5. \] Окружность будет пересекать стороны треугольника \(MNK\) в точках \(E\) и \(F\). Нам нужно найти длину отрезка \(EF\). При этом важно помнить, что точки \(E\) и \(F\) лежат на окружности, а также используются свойства прямоугольного треугольника и угол \(N\) (равный \(90^\circ\)). Так как \(NH\) является высотой прямоугольного треугольника, и окружность является окружностью, вписанной в прямоугольный треугольник, можно использовать теорему Пифагора в этом треугольнике. При пересечении с окружностью по теореме о диаметре мы знаем, что угол, образуемый радиусом и касательной к окружности, равен 90 градусам. Поэтому \(E\) и \(F\) являют собой проекции высоты на стороны \(NK\) и \(NM\). Находим длину отрезка \(EF\). Так как все эти точки находятся по окружности, и угол \(EHF\) является прямым, то у нас: \[ EF = \sqrt{NH^2 - (r^2)}. \] Однако, знать значение \(EF\) можно и в другом способе. Учитывая симметрию, а также расположение высоты относительно соединённых сторон треугольника, мы также можем применить формулу для длины хорд. Поскольку \(NH\) является высотой, перпендикулярной к гипотенузе, они производят одинаковые расстояния. Итак, поскольку \(E\) и \(F\) являются точками касания, длина \(EF\) равна: \[ EF = NH = 7. \] Итак, длина отрезка \(EF\) составляет 7, если мы рассматриваем свойства прямоугольного треугольника с высотой. Таким образом, ответ: \[ EF = 7. \]