не выполняя построения: а) определите, пересекает ли паработа y=x²-8x+16 прямую 2x-3y=0 и если да, то в каких точках; б) найдите в каких точках пересекаются окружность…

Давайте разберем оба пункта.

а) Для того чтобы определить, пересекает ли парабола \(y = x^2 - 8x + 16\) прямую \(2x - 3y = 0\), сначала преобразуем уравнение прямой в более удобный вид. Мы можем выразить \(y\) через \(x\):

\[ 2x - 3y = 0 \implies 3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Парабола: \(y = x^2 - 8x + 16\)
2. Прямая: \(y = \frac{2}{3}x\)

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части:

\[ x^2 - 8x + 16 = \frac{2}{3}x \]

Умножим все на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[ 3(x^2 - 8x + 16) = 2x \implies 3x^2 - 24x + 48 = 2x \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 3x^2 - 24x - 2x + 48 = 0 \implies 3x^2 - 26x + 48 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 676 - 576 = 100 \]

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения два решения. Найдем корни:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm 10}{6} \]

Решения:

\[ x_1 = \frac{36}{6} = 6, \quad x_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \]

Теперь подставим \(x\) обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

1. Для \(x_1 = 6\):

\[ y_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \]

2. Для \(x_2 = \frac{8}{3}\):

\[ y_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{9} \]

Таким образом, точки пересечения:

\[ (6, 4) \quad \text{и} \quad \left(\frac{8}{3}, \frac{16}{9}\right) \]

б) Теперь найдем точки пересечения окружности \((x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 65\) и прямой \(3x - y + 6 = 0\). Сначала выразим \(y\) через \(x\):

\[ y = 3x + 6 \]

Подставим это в уравнение окружности:

\[ (x - 5)^2 + (3x + 6 - 4)^2 = 65 \]

Упрощая вторую часть:

\[ 3x + 6 - 4 = 3x + 2 \implies (3x + 2)^2 \]

Теперь подставляем в уравнение окружности:

\[ (x - 5)^2 + (3x + 2)^2 = 65 \]

Раскроем скобки:

\[ (x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25 \] \[ (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \]

Теперь сложим эти уравнения:

\[ x^2 - 10x + 25 + 9x^2 + 12x + 4 = 65 \]

Упрощаем:

\[ 10x^2 + 2x + 29 - 65 = 0 \implies 10x^2 + 2x - 36 = 0 \]

Разделим на 2 для удобства:

\[ 5x^2 + x - 18 = 0 \]

Теперь найдем дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18) = 1 + 360 = 361 \]

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения два решения:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 19}{10} \]

Решения:

\[ x_1 = \frac{18}{10} = 1.8, \quad x_2 = \frac{-20}{10} = -2 \]

Теперь подставим \(x\) обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие \(y\):

1. Для \(x_1 = 1.8\):

\[ y_1 = 3 \cdot 1.8 + 6 = 5.4 + 6 = 11.4 \]

2. Для \(x_2 = -2\):

\[ y_2 = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0 \]

Таким образом, точки пересечения:

\[ (1.8, 11.4) \quad \text{и} \quad (-2, 0) \]

Надеюсь, это поможет вам в вашем изучении! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!