2х⁵+4х⁴+10х+20 разложить на множители многочлен

Чтобы разложить многочлен \(2x^5 + 4x^4 + 10x + 20\) на множители, сначала попробуем выделить общий множитель.

1. Выделим общий множитель из всех членов. В данном случае, наименьший общий множитель — это 2:

\[ 2(x^5 + 2x^4 + 5x + 10) \]

2. Теперь нам нужно разложить многочлен \(x^5 + 2x^4 + 5x + 10\). Для этого можем попробовать найти корни многочлена. Для этого удобно использовать метод деления многочленов или проверку целых корней.

При проверке \(x = -2\):

\[ (-2)^5 + 2(-2)^4 + 5(-2) + 10 = -32 + 32 - 10 + 10 = 0 \]

Значит, \(x = -2\) — корень нашего многочлена. Это означает, что \(x + 2\) является множителем.

3. Теперь проведем деление \(x^5 + 2x^4 + 5x + 10\) на \(x + 2\) с использованием деления столбиком.

После выполнения деления получим:

\[ x^5 + 2x^4 + 5x + 10 = (x + 2)(x^4 + 0x^3 + 5x + 5) \]

4. Теперь у нас есть \(x^4 + 5x + 5\). Исследуем его на возможность факторизации. Попробуем снова найти корни, проверяя, например, \(x = 1\) или \(x = -1\):

\[ 1^4 + 5(1) + 5 = 1 + 5 + 5 = 11 \quad (\text{не корень}) \] \[ (-1)^4 + 5(-1) + 5 = 1 - 5 + 5 = 1 \quad (\text{не корень}) \]

Корней не нашли, поэтому оставим \(x^4 + 5x + 5\) в этой форме.

5. Таким образом, окончательный ответ будет:

\[ 2(x + 2)(x^4 + 5x + 5) \]

Итак, исходный многочлен \(2x^5 + 4x^4 + 10x + 20\) раскладывается на множители как \(2(x + 2)(x^4 + 5x + 5)\).