сторона AB равностороннего треугольника равна 20 см. Из вершины В проведена высота ВМ, сумма периметров треугольников АВМ И СВМ равна 96 см. Найдите длину высоты ВМ

В равностороннем треугольнике ABC с длиной стороны AB равной 20 см, высота BM делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника: ABM и CBM.

Чтобы найти длину высоты BM, начнем с определения периметра треугольников ABM и CBM.

Периметр треугольника ABM можно выразить как: \[ P_{ABM} = AB + AM + BM \] Периметр треугольника CBM: \[ P_{CBM} = BC + CM + BM \] Для равностороннего треугольника справедливо, что \( AB = BC = 20 \) см.

Зная, что сумма периметров треугольников ABM и CBM равна 96 см: \[ P_{ABM} + P_{CBM} = 96 \]

Мы можем записать: \[ (AB + AM + BM) + (BC + CM + BM) = 96 \]

Подставляя \( AB = BC = 20 \) см и обозначая \( BM = h \): \[ (20 + AM + h) + (20 + CM + h) = 96 \] \[ 40 + AM + CM + 2h = 96 \]

Сократим это уравнение: \[ AM + CM + 2h = 56 \]

Так как AM и CM являются частями высоты BM (так как BM делит сторону AC пополам), то в равностороннем треугольнике высота BM и длина стороны AB связаны следующим образом. Для равностороннего треугольника высота \( h \) может быть найдена по формуле: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] где \( a \) — длина стороны, в нашем случае 20 см. Тем не менее, мы можем выразить AM и CM через h. В равностороннем треугольнике AM и CM равны и составляют половину основания: \[ AM = CM = \frac{20}{2} = 10 \]

Итак, подставляем в уравнение: \[ 10 + 10 + 2h = 56 \] \[ 20 + 2h = 56 \] \[ 2h = 36 \] \[ h = 18 \]

Таким образом, длина высоты BM равна 18 см.