Чтобы найти длину стороны АС в треугольнике ABC с углами A = 45°, C = 15° и стороной BC = 4√6, мы можем использовать теорему синусов.
Сначала определим угол B. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, угол B можно найти следующим образом:
[
B = 180° - A - C = 180° - 45° - 15° = 120°.
]
Теперь у нас есть все три угла треугольника: A = 45°, B = 120°, C = 15°.
По теореме синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},
]
где:
- a = BC = 4√6,
- b = AC,
- c = AB.
Для нахождения AC (b) мы можем воспользоваться следующим соотношением:
[
\frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B}.
]
Подставим известные значения:
[
\frac{AC}{\sin 45°} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin 120°}.
]
Значения синусов:
(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}).
Теперь подставим эти значения в уравнение:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
]
Упростим правую часть:
[
\frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{6} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}}.
]
Теперь умножим обе стороны на (\frac{\sqrt{2}}{2}):
[
AC = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{12}}{2\sqrt{3}} = \frac{8 \cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 8.
]
Таким образом, длина стороны AC равна 8.
