Давайте решим оба уравнения по очереди.
1) Найди tg²x, если ( 5\sin^2x + 13\cos^2x = 6 )
Для начала, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
[
\sin^2x + \cos^2x = 1
]
Из этого уравнения мы можем выразить (\sin^2x):
[
\sin^2x = 1 - \cos^2x.
]
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
[
5(1 - \cos^2x) + 13\cos^2x = 6.
]
Раскроем скобки:
[
5 - 5\cos^2x + 13\cos^2x = 6.
]
Соберём подобные слагаемые:
[
5 + 8\cos^2x = 6.
]
Теперь решим уравнение:
[
8\cos^2x = 6 - 5,
]
[
8\cos^2x = 1,
]
[
\cos^2x = \frac{1}{8}.
]
Теперь найдем (\sin^2x):
[
\sin^2x = 1 - \cos^2x = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.
]
Тангенс можно выразить следующим образом:
[
\tg^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}} = 7.
]
Таким образом, (\tg^2x = 7).
2) Найди tg²x, если ( 4\sin^2x + 9\cos^2x = 6 )
Снова воспользуемся тем же тригонометрическим тождеством:
[
\sin^2x = 1 - \cos^2x.
]
Подставим в уравнение:
[
4(1 - \cos^2x) + 9\cos^2x = 6.
]
Раскроем скобки:
[
4 - 4\cos^2x + 9\cos^2x = 6.
]
Соберём подобные слагаемые:
[
4 + 5\cos^2x = 6.
]
Теперь решим это уравнение:
[
5\cos^2x = 6 - 4,
]
[
5\cos^2x = 2,
]
[
\cos^2x = \frac{2}{5}.
]
Теперь найдем (\sin^2x):
[
\sin^2x = 1 - \cos^2x = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}.
]
Теперь можем найти (\tg^2x):
[
\tg^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}.
]
Итак, (\tg^2x = \frac{3}{2}).
Ответы:
- (\tg^2x = 7)
- (\tg^2x = \frac{3}{2})
