1)найди tg²x, если 5sin²x+13cos²x=6 2) найди tg²x, если 4sin²x+9cos²x=6
Давайте решим оба уравнения по очереди.
1) Найди tg²x, если \( 5\sin^2x + 13\cos^2x = 6 \)
Для начала, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2x + \cos^2x = 1 \] Из этого уравнения мы можем выразить \(\sin^2x\): \[ \sin^2x = 1 - \cos^2x. \]
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение: \[ 5(1 - \cos^2x) + 13\cos^2x = 6. \] Раскроем скобки: \[ 5 - 5\cos^2x + 13\cos^2x = 6. \] Соберём подобные слагаемые: \[ 5 + 8\cos^2x = 6. \] Теперь решим уравнение: \[ 8\cos^2x = 6 - 5, \] \[ 8\cos^2x = 1, \] \[ \cos^2x = \frac{1}{8}. \]
Теперь найдем \(\sin^2x\): \[ \sin^2x = 1 - \cos^2x = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}. \]
Тангенс можно выразить следующим образом: \[ \tg^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}} = 7. \]
Таким образом, \(\tg^2x = 7\).
2) Найди tg²x, если \( 4\sin^2x + 9\cos^2x = 6 \)
Снова воспользуемся тем же тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2x = 1 - \cos^2x. \] Подставим в уравнение: \[ 4(1 - \cos^2x) + 9\cos^2x = 6. \] Раскроем скобки: \[ 4 - 4\cos^2x + 9\cos^2x = 6. \] Соберём подобные слагаемые: \[ 4 + 5\cos^2x = 6. \] Теперь решим это уравнение: \[ 5\cos^2x = 6 - 4, \] \[ 5\cos^2x = 2, \] \[ \cos^2x = \frac{2}{5}. \]
Теперь найдем \(\sin^2x\): \[ \sin^2x = 1 - \cos^2x = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}. \]
Теперь можем найти \(\tg^2x\): \[ \tg^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}. \]
Итак, \(\tg^2x = \frac{3}{2}\).
Ответы:
- \(\tg^2x = 7\)
- \(\tg^2x = \frac{3}{2}\)
