(x-1)×(x²+8x+16)=6×(x+4)

Чтобы решить уравнение \((x-1) \times (x^2 + 8x + 16) = 6 \times (x + 4)\), начнем с упрощения левой и правой части.

1. Раскроем скобки. Сначала у нас есть \(x^2 + 8x + 16\), можно заметить, что это полный квадрат: \((x + 4)^2\). Таким образом, уравнение можно записать так: \[ (x-1) \times (x + 4)^2 = 6 \times (x + 4) \]

2. Теперь упростим обе стороны. Поскольку \(x + 4\) присутствует на обеих сторонах и \(x + 4 ≠ 0\) (если \(x = -4\), мы рассмотрим это позже), мы можем разделить обе стороны на \(x + 4\): \[ (x - 1)(x + 4) = 6 \]

3. Раскроем скобки в левой части: \[ x^2 + 3x - 6 = 0 \]

4. Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33 \] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-3 \pm \sqrt{33}}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два решения: \[ x_1 = \frac{{-3 + \sqrt{33}}}{2} \] \[ x_2 = \frac{{-3 - \sqrt{33}}}{2} \]

5. Не забудем про значение \(x = -4\). Проверяем, подходит ли \(x = -4\) для нашего уравнения. Если подставить \(x = -4\) в первоначальное уравнение, обе стороны равны нулю: \(((-4)-1) \times ((-4)^2 + 8 \times (-4) + 16) = 0\).

Итак, окончательные решения: \[ x_1 = \frac{{-3 + \sqrt{33}}}{2}, \quad x_2 = \frac{{-3 - \sqrt{33}}}{2}, \quad x = -4 \]