Решим задачу по теории вероятностей, связанную с игрой в шахматы.
Обозначим:
- ( p = 0,6 ) — вероятность выигрыша в партии,
- ( q = 1 - p = 0,4 ) — вероятность проигрыша в партии.
Теперь ответим на каждый из пунктов:
а) Выиграть с третьей попытки значит, что шахматист проиграет первые две партии, а в третьей – выиграет. Вероятность такого события можно вычислить следующим образом:
[
P(\text{выигрыш с третьей попытки}) = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (0,4)^2 \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096.
]
б) Чтобы выиграть с третьей или четвертой попытки, нам нужно рассмотреть два случая: выигрыш с третьей попытки (что мы уже нашли) и выигрыш с четвертой попытки.
Для выигрыша с четвертой попытки шахматист должен проиграть первые три партии и выиграть в четвертой:
[
P(\text{выигрыш с четвертой попытки}) = q^3 \cdot p = (0,4)^3 \cdot 0,6 = 0,064 \cdot 0,6 = 0,0384.
]
Теперь объединяем оба случая:
[
P(\text{выигрыш с третьей или четвертой попытки}) = P(\text{выигрыш с третьей}) + P(\text{выигрыш с четвертой}) = 0,096 + 0,0384 = 0,1344.
]
в) Вероятность того, что шахматист выиграет не ранее, чем с третьей попытки, означает, что он должен проиграть первые две партии. Это совпадает с первой частью задачи:
[
P(\text{не ранее третьей попытки}) = q^2 = (0,4)^2 = 0,16.
]
г) Выиграть раньше, чем с четвертой попытки, включает возможность выигрыша с первой, второй или третьей попытки. Мы можем найти эту вероятность, вычитая вероятность проигрыша в первых трех партиях из 1. То есть, вероятность того, что шахматист проиграет три раза подряд:
[
P(\text{выигрыш ранее четвертой попытки}) = 1 - P(\text{проигрыш трижды}) = 1 - q^3 = 1 - (0,4)^3 = 1 - 0,064 = 0,936.
]
Таким образом, ответы на пункты:
а) 0,096
б) 0,1344
в) 0,16
г) 0,936
