Найдите объём правильной усеченной треугольной пирамиды, стороны оснований которов равны 2 см и 10 см, а высота 6 см
Чтобы найти объем правильной усеченной треугольной пирамиды, можно воспользоваться формулой:
\[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) \]
где:
- \( V \) — объем усеченной пирамиды,
- \( h \) — высота усеченной пирамиды,
- \( S_1 \) — площадь нижнего основания,
- \( S_2 \) — площадь верхнего основания.
В данном случае у нас есть усеченная треугольная пирамида с основаниями, представляющими равносторонние треугольники со сторонами 2 см (верхнее основание) и 10 см (нижнее основание), а высота \( h = 6 \) см.
Сначала найдем площади оснований.
- Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
где \( a \) — длина стороны треугольника.
Для нижнего основания ( \( a = 10 \) см):
\[ S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]
Для верхнего основания ( \( a = 2 \) см):
\[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]
Теперь подставим найденные площади оснований и высоту в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \left( \sqrt{3} + 25\sqrt{3} + \sqrt{\sqrt{3} \cdot 25\sqrt{3}} \right) \]
Упростим выражение внутри скобок:
\[ \sqrt{3} + 25\sqrt{3} = 26\sqrt{3} \]
Теперь найдём корень:
\[ \sqrt{\sqrt{3} \cdot 25\sqrt{3}} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
Итак, подставим всё обратно:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (26\sqrt{3} + 5\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 31\sqrt{3} \]
Вычислим:
\[ V = 2 \cdot 31\sqrt{3} = 62\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \]
Таким образом, объем правильной усеченной треугольной пирамиды равен \( 62\sqrt{3} \, \text{см}^3 \).
