Чтобы найти объем правильной усеченной треугольной пирамиды, можно воспользоваться формулой:
[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) ]
где:
- ( V ) — объем усеченной пирамиды,
- ( h ) — высота усеченной пирамиды,
- ( S_1 ) — площадь нижнего основания,
- ( S_2 ) — площадь верхнего основания.
В данном случае у нас есть усеченная треугольная пирамида с основаниями, представляющими равносторонние треугольники со сторонами 2 см (верхнее основание) и 10 см (нижнее основание), а высота ( h = 6 ) см.
Сначала найдем площади оснований.
- Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]
где ( a ) — длина стороны треугольника.
Для нижнего основания ( ( a = 10 ) см):
[
S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25\sqrt{3} , \text{cm}^2
]
Для верхнего основания ( ( a = 2 ) см):
[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3} , \text{cm}^2
]
Теперь подставим найденные площади оснований и высоту в формулу для объема:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \left( \sqrt{3} + 25\sqrt{3} + \sqrt{\sqrt{3} \cdot 25\sqrt{3}} \right)
]
Упростим выражение внутри скобок:
[
\sqrt{3} + 25\sqrt{3} = 26\sqrt{3}
]
Теперь найдём корень:
[
\sqrt{\sqrt{3} \cdot 25\sqrt{3}} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}
]
Итак, подставим всё обратно:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (26\sqrt{3} + 5\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 31\sqrt{3}
]
Вычислим:
[
V = 2 \cdot 31\sqrt{3} = 62\sqrt{3} , \text{cm}^3
]
Таким образом, объем правильной усеченной треугольной пирамиды равен ( 62\sqrt{3} , \text{см}^3 ).
