Чтобы найти косинус угла (\alpha), когда дан синус этого же угла, воспользуемся тригонометрической идентичностью:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
У нас есть:
[
\sin \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}
]
Сначала найдем квадрат синуса:
[
\sin^2 \alpha = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{7}{16}
]
Теперь подставим (\sin^2 \alpha) в тригонометрическую идентичность:
[
\frac{7}{16} + \cos^2 \alpha = 1
]
Вычтем (\frac{7}{16}) из 1:
[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}
]
Теперь найдем косинус:
[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4}
]
Поскольку (\alpha) находится в диапазоне от (270^\circ) до (360^\circ), это означает, что угол находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Таким образом, мы выбираем положительное значение:
[
\cos \alpha = \frac{3}{4}
]
Итак, косинус угла (\alpha) равен (\frac{3}{4}).
