4х²-х+1>0

Для решения неравенства \(4x² - x + 1 > 0\), начнем с анализа квадратного трехчлена.

1. Определим дискриминант. Для квадратного уравнения вида \(ax² + bx + c = 0\) дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b² - 4ac \] В нашем случае \(a = 4\), \(b = -1\), \(c = 1\). Подставляем значения: \[ D = (-1)² - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15 \]

2. Анализ дискриминанта. Поскольку дискриминант \(D < 0\), это означает, что уравнение \(4x² - x + 1 = 0\) не имеет действительных корней. Следовательно, парабола, заданная этим уравнением, не пересекает ось \(x\).

3. Определяем знак трёхчлена. Так как парабола открыта вверх (коэффициент при \(x²\) положительный), и не имеет действительных корней, это означает, что квадратичная функция \(4x² - x + 1\) принимает только положительные значения для всех \(x\).

Таким образом, неравенство \(4x² - x + 1 > 0\) выполняется для всех \(x\) из множества действительных чисел.

Ответ: \(4x² - x + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\).