дан треугольник ABC AC=46,8 см; угол B=45°; угол C=60° найди сторону AB ( ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня)

Чтобы найти сторону \( AB \) в треугольнике \( ABC \) с данными \( AC = 46,8 \) см, \( \angle B = 45^\circ \) и \( \angle C = 60^\circ \), мы можем использовать закон синусов.

Сначала найдем угол \( A \): \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. \]

Теперь применим закон синусов, который гласит, что отношение длины стороны к синус противоположного угла в любом треугольнике является постоянным: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим известные значения: \[ \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{46,8}{\sin 45^\circ}. \]

Зная, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), мы можем выразить \( AB \): \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{46,8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ AB = \frac{46,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 46,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \]

Упростим выражение: \[ AB = 46,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 46,8 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}. \] \[ AB = 46,8 \cdot \sqrt{1,5}. \]

Теперь посчитаем: \[ AB \approx 46,8 \cdot 1,2247 \approx 57,298. \]

Мы можем округлить это значение до ближайшего натурального числа под знаком корня: \[ AB \approx \sqrt{3293}. \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( \sqrt{3293} \) см.