arcsin(-1/2) +arccos(-√3/2) +arcctg(-√3)
Для решения выражения \( \arcsin(-\frac{1}{2}) + \arccos(-\sqrt{3}/2) + \text{arcctg}(-\sqrt{3}) \) давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.
\( \arcsin(-\frac{1}{2}) \): Значение \( x = -\frac{1}{2} \) соответствует углу, для которого синус равен \( -\frac{1}{2} \). Этот угол находится в четвертой четверти на промежутке \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \). Угол, для которого синус равен \( -\frac{1}{2} \), равен \( -\frac{\pi}{6} \).
\( \arccos(-\sqrt{3}/2) \): Значение \( y = -\sqrt{3}/2 \) соответствует углу, для которого косинус равен \( -\sqrt{3}/2 \). Этот угол находится во второй четверти на промежутке \( [0, \pi] \). Угол, для которого косинус равен \( -\sqrt{3}/2 \), равен \( \frac{5\pi}{6} \).
\( \text{arcctg}(-\sqrt{3}) \): Арккотангенс \( -\sqrt{3} \) соответствует углу, для которого котангенс равен \( -\sqrt{3} \). Этот угол находится в первом и третьем квадрантах. Обычно мы берем значение из промежутка \( (0, \pi) \). Угол, соответствующий \( -\sqrt{3} \), равен \( \frac{5\pi}{6} \) (из второго квадранта) или \( \frac{\pi}{3} \) (из первого квадранта, но положительно). С учетом принятия стандартного значения, мы используем \( \frac{2\pi}{3} \).
Теперь складываем все найденные значения:
\[ \arcsin(-\frac{1}{2}) + \arccos(-\sqrt{3}/2) + \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \]
Чтобы сложить эти значения, сначала приведем их к одному знаменателю. Общий знаменатель для \( 6 \) и \( 3 \) – это \( 6 \). Конвертируем \( \frac{2\pi}{3} \):
\[ \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} \]
Теперь складываем:
\[ -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = (-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6}) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \]
Таким образом, ответ на данное выражение равен:
\[ \frac{4\pi}{3} \]
