Для решения этой задачи используем метод систем уравнений. Давайте обозначим:
- ( x ) — количество литров 10-процентного раствора спирта.
- ( y ) — количество литров 20-процентного раствора спирта.
Теперь запишем два уравнения в зависимости от условий задачи:
- Условие с добавлением воды:
Когда Наташа добавляет 1 литр воды к смеси, она получает 14%-ный раствор. Сначала найдем общее количество спирта в смеси до добавления воды:
- Спирт из 10%-ного раствора: ( 0.1x )
- Спирт из 20%-ного раствора: ( 0.2y )
Общее количество спирта в смеси до добавления воды:
[
0.1x + 0.2y
]
Общее количество раствора после добавления 1 литра воды:
[
x + y + 1
]
Теперь мы можем записать уравнение для 14%-ного раствора:
[
\frac{0.1x + 0.2y}{x + y + 1} = 0.14
]
Умножим обе стороны на ( x + y + 1 ):
[
0.1x + 0.2y = 0.14(x + y + 1)
]
Раскроем скобки:
[
0.1x + 0.2y = 0.14x + 0.14y + 0.14
]
Переносим все в одну сторону:
[
0.1x - 0.14x + 0.2y - 0.14y - 0.14 = 0
]
Упростим уравнение:
[
-0.04x + 0.06y - 0.14 = 0
]
Умножим на (-100) для удобства:
[
4x - 6y + 14 = 0 \quad \rightarrow \quad 4x - 6y = -14 \quad \rightarrow \quad 2x - 3y = -7 \quad \text{(1)}
]
- Условие с добавлением 40%-ного раствора:
Когда Наташа добавляет 1 литр 40%-ного раствора, получаем 22%-ный раствор. Спирт из 40%-ного раствора:
[
0.4 \cdot 1 = 0.4
]
Общее количество спирта после добавления этого раствора:
[
0.1x + 0.2y + 0.4
]
Общее количество раствора после добавления 1 литра:
[
x + y + 1
]
Теперь запишем уравнение для 22%-ного раствора:
[
\frac{0.1x + 0.2y + 0.4}{x + y + 1} = 0.22
]
Умножим обе стороны на ( x + y + 1 ):
[
0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22(x + y + 1)
]
Раскроем скобки:
[
0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22x + 0.22y + 0.22
]
Переносим все в одну сторону:
[
0.1x - 0.22x + 0.2y - 0.22y + 0.4 - 0.22 = 0
]
Упрощаем уравнение:
[
-0.12x - 0.02y + 0.18 = 0
]
Умножим на (-100):
[
12x + 2y - 18 = 0 \quad \rightarrow \quad 6x + y = 9 \quad \text{(2)}
]
Теперь у нас есть система двух уравнений:
- ( 2x - 3y = -7 )
- ( 6x + y = 9 )
Решим систему уравнений. Из второго уравнения выразим ( y ):
[
y = 9 - 6x
]
Подставим ( y ) в первое уравнение:
[
2x - 3(9 - 6x) = -7
]
Раскроем скобки:
[
2x - 27 + 18x = -7
]
Сложим:
[
20x - 27 = -7
]
Добавим 27:
[
20x = 20 \quad \rightarrow \quad x = 1
]
Теперь подставим ( x ) в уравнение для ( y ):
[
y = 9 - 6(1) = 3
]
Ответ:
- ( x = 1 ) литр 10%-ного раствора.
- ( y = 3 ) литра 20%-ного раствора.
Теперь краткую запись можно оформить в виде таблицы:
| Раствор |
Концентрация |
Объем (л) |
| 10%-ный раствор |
10% |
1 |
| 20%-ный раствор |
20% |
3 |
| Чистая вода |
0% |
1 (при первом условии) |
| 40%-ный раствор |
40% |
1 (при втором условии) |
Таким образом, Наташа смешала 1 литр 10-процентного раствора спирта.
