Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит 14-процентный раствор спирта. С другой…
Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит 14-процентный раствор спирта. С другой стороны, если она добавит вместо 1 литра воды 1 литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор спирта. Сколько литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа? Краткую запись и дано записать в виде таблицы
Для решения этой задачи используем метод систем уравнений. Давайте обозначим:
- \( x \) — количество литров 10-процентного раствора спирта.
- \( y \) — количество литров 20-процентного раствора спирта.
Теперь запишем два уравнения в зависимости от условий задачи:
- Условие с добавлением воды: Когда Наташа добавляет 1 литр воды к смеси, она получает 14%-ный раствор. Сначала найдем общее количество спирта в смеси до добавления воды:
- Спирт из 10%-ного раствора: \( 0.1x \)
- Спирт из 20%-ного раствора: \( 0.2y \)
Общее количество спирта в смеси до добавления воды:
\[ 0.1x + 0.2y \]
Общее количество раствора после добавления 1 литра воды:
\[ x + y + 1 \]
Теперь мы можем записать уравнение для 14%-ного раствора:
\[ \frac{0.1x + 0.2y}{x + y + 1} = 0.14 \]
Умножим обе стороны на \( x + y + 1 \):
\[ 0.1x + 0.2y = 0.14(x + y + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ 0.1x + 0.2y = 0.14x + 0.14y + 0.14 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 0.1x - 0.14x + 0.2y - 0.14y - 0.14 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ -0.04x + 0.06y - 0.14 = 0 \]
Умножим на \(-100\) для удобства:
\[ 4x - 6y + 14 = 0 \quad \rightarrow \quad 4x - 6y = -14 \quad \rightarrow \quad 2x - 3y = -7 \quad \text{(1)} \]
- Условие с добавлением 40%-ного раствора:
Когда Наташа добавляет 1 литр 40%-ного раствора, получаем 22%-ный раствор. Спирт из 40%-ного раствора:
\[ 0.4 \cdot 1 = 0.4 \]
Общее количество спирта после добавления этого раствора:
\[ 0.1x + 0.2y + 0.4 \]
Общее количество раствора после добавления 1 литра:
\[ x + y + 1 \]
Теперь запишем уравнение для 22%-ного раствора:
\[ \frac{0.1x + 0.2y + 0.4}{x + y + 1} = 0.22 \]
Умножим обе стороны на \( x + y + 1 \):
\[ 0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22(x + y + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ 0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22x + 0.22y + 0.22 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 0.1x - 0.22x + 0.2y - 0.22y + 0.4 - 0.22 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ -0.12x - 0.02y + 0.18 = 0 \]
Умножим на \(-100\):
\[ 12x + 2y - 18 = 0 \quad \rightarrow \quad 6x + y = 9 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть система двух уравнений:
- \( 2x - 3y = -7 \)
- \( 6x + y = 9 \)
Решим систему уравнений. Из второго уравнения выразим \( y \):
\[ y = 9 - 6x \]
Подставим \( y \) в первое уравнение:
\[ 2x - 3(9 - 6x) = -7 \]
Раскроем скобки:
\[ 2x - 27 + 18x = -7 \]
Сложим:
\[ 20x - 27 = -7 \]
Добавим 27:
\[ 20x = 20 \quad \rightarrow \quad x = 1 \]
Теперь подставим \( x \) в уравнение для \( y \):
\[ y = 9 - 6(1) = 3 \]
Ответ:
- \( x = 1 \) литр 10%-ного раствора.
- \( y = 3 \) литра 20%-ного раствора.
Теперь краткую запись можно оформить в виде таблицы:
| Раствор | Концентрация | Объем (л) |
|---|---|---|
| 10%-ный раствор | 10% | 1 |
| 20%-ный раствор | 20% | 3 |
| Чистая вода | 0% | 1 (при первом условии) |
| 40%-ный раствор | 40% | 1 (при втором условии) |
Таким образом, Наташа смешала 1 литр 10-процентного раствора спирта.
