Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором катеты относятся как 3:4. Пусть один катет равен (3x), а другой — (4x).
Согласно теореме Пифагора, гипотенуза (c) в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где (a) и (b) — длины катетов. Подставим наши значения катетов:
[
c = \sqrt{(3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x
]
По условию, гипотенуза равна 50 мм:
[
5x = 50 \implies x = 10 \text{ мм}
]
Теперь можем найти длины катетов:
[
a = 3x = 3 \cdot 10 = 30 \text{ мм}
]
[
b = 4x = 4 \cdot 10 = 40 \text{ мм}
]
Следующим шагом найдем высоту (h), проведенную из прямого угла к гипотенузе. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту.
Площадь через катеты:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \text{ мм}^2
]
Площадь через гипотенузу и высоту:
[
S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot h
]
Приравняем два выражения для площади:
[
600 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot h
]
[
600 = 25h \implies h = \frac{600}{25} = 24 \text{ мм}
]
Теперь, чтобы найти отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, мы будем использовать следующее соотношение:
Если высота делит гипотенузу на отрезки (d_1) и (d_2), то для прямоугольного треугольника справедливо:
[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{a^2}{b^2}
]
Подставим наши значения катетов:
[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{30^2}{40^2} = \frac{900}{1600} = \frac{9}{16}
]
Пусть (d_1 = 9k) и (d_2 = 16k). Тогда сумма отрезков будет равна длине гипотенузы:
[
d_1 + d_2 = 50 \implies 9k + 16k = 50 \implies 25k = 50 \implies k = 2
]
Таким образом, найдем длины отрезков:
[
d_1 = 9k = 9 \cdot 2 = 18 \text{ мм}
]
[
d_2 = 16k = 16 \cdot 2 = 32 \text{ мм}
]
Ответ: Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 18 мм и 32 мм.
