Основания равнобедренной трапеции BC и AD равны 12 и 24 см, боковая сторона CD=10 см образует с большим основанием угол 45°. Найти площадь трапеции
Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, можно воспользоваться следующими шагами.
Дано:
- Основания \( BC = 12 \, см \) и \( AD = 24 \, см \)
- Боковая сторона \( CD = 10 \, см \)
- Угол между боковой стороной \( CD \) и большим основанием \( AD \) равен \( 45^\circ \).
Найдем высоту трапеции. Из угла \( 45^\circ \) можно провести перпендикуляр к основанию \( AD \), который будет высотой \( h \) трапеции. Так как угол \( 45^\circ \), высота будет равна отрезку, который мы отложили от точки \( C \) вниз на основание \( AD \).
По определению угла \( 45^\circ \): \[ h = CD \cdot \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, см \]
Выразим оставшиеся части основания. Обозначим отрезки, которые получаем при проведении высоты из \( C \) и \( D \) на основание \( AD \). Обозначим эти отрезки как \( x \). Получаем: \[ AD = x + BC + x = 12 + 2x \]
Поскольку \( AD = 24 \, см \), можем записать уравнение: \[ 12 + 2x = 24 \] \[ 2x = 12 \implies x = 6 \, см \]
Теперь можем найти площадь трапеции. Площадь \( S \) трапеции можно найти по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота.
Подставим известные значения: \[ S = \frac{(12 + 24) \cdot 5\sqrt{2}}{2} = \frac{36 \cdot 5\sqrt{2}}{2} \] \[ S = 18 \cdot 5\sqrt{2} = 90\sqrt{2} \, см^2 \]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет \( 90\sqrt{2} \, см^2 \).
