Найдите наибольшее значение функции y = 4cos x - 21/pi * x + 9 на отреже [- (2x)/3, 0]
Для того чтобы найти наибольшее значение функции \( y = 4\cos x - \frac{21}{\pi} x + 9 \) на отрезке \( \left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right] \), нужно выполнить несколько шагов.
Найти производную функции. Это поможет выявить критические точки, где функция может достигать максимумов или минимумов: \[ y' = -4\sin x - \frac{21}{\pi} \]
Решить уравнение \( y' = 0 \) для поиска критических точек: \[ -4\sin x - \frac{21}{\pi} = 0 \] \[ \sin x = -\frac{21}{4\pi} \] Так как значение \( \sin x \) в диапазоне \([-1, 1]\), мы должны проверить, может ли \( -\frac{21}{4\pi} \) входить в этот интервал. Приблизительное значение \( -\frac{21}{4\pi} \) ~ -1.67, что выходит за пределы значений синуса, поэтому уравнение не имеет решений в данном интервале.
Проверить значения функции на границах отрезка:
Подставим \( x = -\frac{2\pi}{3} \): \[ y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 4\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{21}{\pi}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + 9 \] \[ = 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 14 + 9 = -2 + 14 + 9 = 21 \]
Подставим \( x = 0 \): \[ y(0) = 4\cos(0) + 9 = 4 \cdot 1 + 9 = 13 \]
Сравнить значения функции на границах отрезка:
- \( y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 21 \)
- \( y(0) = 13 \)
Наибольшее значение функции на отрезке \( \left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right] \) равно \( 21 \), что достигается в точке \( x = -\frac{2\pi}{3} \).
